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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 6
Cours 2
Cosinus et sinus d'un nombre réel
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A
Généralités
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Définitions
Soient (\mathrm{O} \: ; \mathrm{I}, \mathrm{J}) un repère orthonormé et \text{M} un point du cercle trigonométrique.
Si x est une mesure de l'angle orienté (\overrightarrow{\mathrm{OI}} \: ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}), alors :
- on appelle cosinus de x, et on note \cos (x), l'abscisse du point \text{M} ;
- on appelle sinus de x, et on note \sin (x), l'ordonnée du point \text{M}.
Le point \text{M} a donc pour coordonnées (\cos (x) ; \sin (x)).
Remarque
Lorsque x est un réel dont la mesure principale est comprise entre 0 et \frac{\pi}{2}, alors la définition du cosinus et du sinus (dans le cercle) coïncide avec la définition du cosinus et du sinus dans le triangle rectangle vue au collège.
À visualiser dans ce module GeoGebra :
GeoGebra
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Propriété
Pour tout réel x, -1 \leqslant \cos (x) \leqslant 1 et -1 \leqslant \sin (x) \leqslant 1.
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B
Valeurs remarquables
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Angles remarquables sur le cercle :
Remarque
Le cosinus se lit sur l'axe des abscisses tandis que le sinus se lit sur l'axe des ordonnées.
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Voir exercice
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Exemple
On a donc \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} et \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
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C
Symétries du cercle trigonométrique
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Propriétés
- \cos (x+2 \pi)=\cos (x)
- \sin (x+2 \pi)=\sin (x)
- \cos (-x)=\cos (x)
- \sin (-x)=-\sin (x)
- \cos (\pi-x)=-\cos (x)
- \sin (\pi-x)=\sin (x)
- \cos (\pi+x)=-\cos (x)
- \sin (\pi+x)=-\sin (x)
- \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos (x)
- \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin (x)
- \cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin (x)
- \sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos (x)
À visualiser dans ce module GeoGebra :
GeoGebra
Remarque
Il n'est pas nécessaire d'apprendre par cœur ces formules, mais il est essentiel de pouvoir les retrouver rapidement en faisant une figure.
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Exemple
On a \cos \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
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Application et méthode - 4
Résoudre une équation trigonométrique
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Énoncé
Déterminer l'ensemble des nombres réels x solutions de l'équation \sin (x)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
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Solution
En observant le cercle trigonométrique, on obtient deux solutions dans l'intervalle ]-\pi \: ; \pi] qui sont données par x=\frac{\pi}{3} et x=\frac{2 \pi}{3}.
Les autres solutions correspondent aux tours de cercles supplémentaires.
L'ensemble des solutions dans \R est donc composé des réels de la forme x=\frac{\pi}{3}+k \times 2 \pi ou de la forme x=\frac{2 \pi}{3}+k \times 2 \pi, k \in \mathbb{Z}.
Pour s'entraîner : et p. 181
Les autres solutions correspondent aux tours de cercles supplémentaires.
L'ensemble des solutions dans \R est donc composé des réels de la forme x=\frac{\pi}{3}+k \times 2 \pi ou de la forme x=\frac{2 \pi}{3}+k \times 2 \pi, k \in \mathbb{Z}.
Pour s'entraîner : et p. 181
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- On cherche tout d'abord quelles sont les valeurs de x de l'intervalle ]-\pi ; \pi] qui vérifient l'équation. Pour cela, on trace le cercle trigonométrique et on place la valeur apparaissant dans l'équation sur l'axe des abscisses ou sur l'axe des ordonnées selon que l'équation fasse apparaître du cosinus ou du sinus.
- En s'aidant du cercle trigonométrique et des symétries, on détermine les valeurs recherchées.
- On détermine ensuite l'ensemble des nombres réels x qui sont solutions de l'équation en ajoutant les multiples de 2\pi.
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