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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 6
Entraînement 1
Mesure d'un angle en radian
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Exercice 55
[Calculer.]
Compléter le tableau suivant permettant de passer de degré à radian et réciproquement.
| Angle en degré | 22\degree | 170\degree | ||
| Angle en radian | \frac{\pi}{7} | \frac{\pi}{10} |
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Exercice 56
[Représenter.]
Sur la figure ci-dessous, \mathcal{C} est le cercle de centre \text{A} et de rayon \text{AB} = 4. Déterminer la longueur de l'arc de cercle \overgroup{\text{BB}'}. On arrondira le résultat à 10^{-2}
près.
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Exercice 57
[Chercher.]
Sur la figure ci-dessous, \mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2} \mathrm{~A}_{3} \mathrm{~A}_{4} \mathrm{~A}_{5} est un pentagone
régulier de centre \text{O}.
Déterminer la mesure en radian et en degré de l'angle \widehat{\mathrm{A}_{1} \mathrm{OA}_{2}} puis de l'angle \widehat{\mathrm{A}_{3} \mathrm{~A}_{2} \mathrm{~A}_{1}}.
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Exercice 58
[Modéliser.]
Une minute d'arc est une unité de mesure des angles égale à un soixantième de degré. On a donc :
1' minute d'arc =\left(\frac{1}{60}\right)^{\circ}.
1. Déterminer la mesure en radian d'un angle d'une minute d'arc.
2. Le mille marin est défini comme la distance à parcourir à la surface de la Terre correspondant à un arc de cercle d'une minute d'arc sur la surface terrestre.
En considérant la Terre comme une sphère de rayon \text{R} = 6\:370 km, calculer la longueur d'un mille marin en mètre (on arrondira le résultat à 10 mètres près).
1' minute d'arc =\left(\frac{1}{60}\right)^{\circ}.
1. Déterminer la mesure en radian d'un angle d'une minute d'arc.
2. Le mille marin est défini comme la distance à parcourir à la surface de la Terre correspondant à un arc de cercle d'une minute d'arc sur la surface terrestre.
En considérant la Terre comme une sphère de rayon \text{R} = 6\:370 km, calculer la longueur d'un mille marin en mètre (on arrondira le résultat à 10 mètres près).
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Exercice 59
[Chercher.]
Sur la figure ci-dessous, \text{ABC} est un triangle équilatéral de centre de gravité \text{O}.
Déterminer la mesure en radian des angles orientés suivants.
1. (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AO}})
2. (\overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AO}})
3. (\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}})
4. (\overrightarrow{\mathrm{BO}}, \overrightarrow{\mathrm{CO}})
Déterminer la mesure en radian des angles orientés suivants.
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1. (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AO}})
2. (\overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AO}})
3. (\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}})
4. (\overrightarrow{\mathrm{BO}}, \overrightarrow{\mathrm{CO}})
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Exercice 60
[Calculer.]
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants.
1. -\frac{17 \pi}{3}
2. 3 \pi
3. \frac{179 \pi}{6}
4. \frac{319 \pi}{2}
1. -\frac{17 \pi}{3}
2. 3 \pi
3. \frac{179 \pi}{6}
4. \frac{319 \pi}{2}
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Exercice 61
[Calculer.]
Parmi les angles orientés suivants, lesquels ont une mesure principale strictement positive ?
1. \frac{3 \pi}{2}
2. \frac{5 \pi}{6}
3. -105 \pi
4. \frac{35 \pi}{3}
1. \frac{3 \pi}{2}
2. \frac{5 \pi}{6}
3. -105 \pi
4. \frac{35 \pi}{3}
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Exercice 62
[Calculer.]
Donner une mesure des angles orientés suivant afin que
cette mesure appartienne à l'intervalle [2 \pi \: ; 4 \pi[.
1. 5 \pi
2. -\frac{7 \pi}{3}
3. \frac{\pi}{6}
4. \frac{-13 \pi}{5}
1. 5 \pi
2. -\frac{7 \pi}{3}
3. \frac{\pi}{6}
4. \frac{-13 \pi}{5}
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Exercice 63
Vrai / Faux
[Raisonner.]
Dans chaque cas, déterminer si l'affirmation énoncée est vraie ou fausse. Justifier.
1. Chaque angle orienté admet exactement deux mesures principales.
2. . La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à l'angle correspondant mesuré en degré.
3. Si \text{ABC} est un triangle rectangle en \text{A}, alors \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{\pi}{2}.
4. Si \vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{v_{1}}, \vec{v_{2}} sont quatre vecteurs tels que \vec{u_{1}} et \vec{v_{1}} sont colinéaires et tels que \vec{u_{2}} et \vec{v_{2}} sont colinéaires, alors les angles orientés \left(\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{v_{1}}\right) et \left(\overrightarrow{u_{2}}, \overrightarrow{v_{2}}\right) sont égaux.
1. Chaque angle orienté admet exactement deux mesures principales.
2. . La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à l'angle correspondant mesuré en degré.
3. Si \text{ABC} est un triangle rectangle en \text{A}, alors \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{\pi}{2}.
4. Si \vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{v_{1}}, \vec{v_{2}} sont quatre vecteurs tels que \vec{u_{1}} et \vec{v_{1}} sont colinéaires et tels que \vec{u_{2}} et \vec{v_{2}} sont colinéaires, alors les angles orientés \left(\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{v_{1}}\right) et \left(\overrightarrow{u_{2}}, \overrightarrow{v_{2}}\right) sont égaux.
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Exercice 64
Exercice inversé
En réponse à un exercice, on écrit : « Les deux angles ont la même mesure principale ».
Rédiger un énoncé possible de cet exercice.
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Exercice 65
Exercice inversé
En réponse à un exercice, on écrit : « La mesure
principale de l'angle est -\frac{3 \pi}{4} ».
Rédiger un énoncé possible de cet exercice.
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