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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 6
Cours 1
Mesure d'un angle en radian
8 professeurs ont participé à cette page
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A
Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique
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Définitions
Dans un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{J}), le cercle trigonométrique est le cercle de centre \text{O} et de rayon 1 sur lequel on a choisi un sens de parcours qui est celui inverse des aiguilles d'une montre. Ce sens est appelé sens direct ou encore sens trigonométrique.
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Remarque
Le sens des aiguilles d'une montre est appelé sens indirect (ou sens horaire).
Remarque
Le sens trigonométrique correspond au sens de circulation sur un sens giratoire.
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Propriété
Le cercle trigonométrique a pour périmètre 2\pi.
Remarque
Le périmètre d'un cercle de rayon \text{R} est 2\pi \text{R}.
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Définition
Dans un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{J}), on note \mathcal{C} le cercle trigonométrique. Soit T la tangente à \mathcal{C} au point \text{I}. On assimile cette droite à l'axe des réels.
En enroulant la droite \text{T} autour du cercle trigonométrique, on observe que, à tout point de \text{T}, on associe un unique point du cercle trigonométrique.
En revanche, à chaque point du cercle correspond une infinité de points de la droite qui sont tous égaux à un multiple de 2\pi près.
Cette opération est appelée enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique.
En enroulant la droite \text{T} autour du cercle trigonométrique, on observe que, à tout point de \text{T}, on associe un unique point du cercle trigonométrique.
En revanche, à chaque point du cercle correspond une infinité de points de la droite qui sont tous égaux à un multiple de 2\pi près.
Cette opération est appelée enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique.
Remarque
Lors de l'enroulement, lorsqu'on a fait exactement une fois le tour du cercle trigonométrique, on a parcouru le périmètre du cercle, c'est-à-dire 2\pi.
GeoGebra
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Application et méthode - 1
Placer des valeurs sur le cercle trigonométrique
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Énoncé
Placer sur le cercle trigonométrique les réels \pi, \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4} et \frac{7\pi}{2}.
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Solution
On sait que 2\pi correspond à un tour complet de cercle dans le sens positif.
Par proportionalité :
Pour s'entraîner : et p. 180
Par proportionalité :
- \pi correspond à un demi-tour dans le sens positif ;
- \frac{\pi}{2} correspond à un quart de tour dans le sens positif ;
- -\frac{\pi}{4} correspond à un huitième de tour dans le sens négatif ;
- \frac{7\pi}{2} correspond à sept quarts de tour dans le sens positif.
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Pour s'entraîner : et p. 180
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Puisque le cercle trigonométrique a pour rayon 1, son périmètre vaut 2\pi, ce qui correspond à un tour complet du cercle.
On place ensuite les points en prenant garde à l'orientation du cercle :
On place ensuite les points en prenant garde à l'orientation du cercle :
- on tourne dans le sens direct pour placer un réel positif ;
- on tourne dans le sens horaire pour placer un réel négatif.
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B
Mesure d'un angle en radian
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Définition
Soit \text{M} un point du cercle trigonométrique. On note x le nombre réel appartenant à [0 \: ; 2 \pi] correspondant au point \text{M} après enroulement de la droite des réels.
On dit que x est une mesure en radian de l'angle \widehat{\text{IOM}}.
On dit que x est une mesure en radian de l'angle \widehat{\text{IOM}}.
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Notation
Le radian se note rad.
Notation
En général, si l'angle en radian a une mesure qui est une fraction de \pi ou un multiple de \pi, on omet la notation « rad ».
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Exemple
Un angle de 360\degree correspond à un tour de cercle complet, c'est-à-dire à 2\pi rad. De plus, les angles en radian et en degré sont proportionnels, ce qui permet d'obtenir le tableau de correspondance ci-dessous.
| Angle en degré | 0\degree | 30\degree | 45\degree | 60\degree | 90\degree | 180\degree | 360\degree |
| Angle en radian | 0 | \frac{\pi}{6} | \frac{\pi}{4} | \frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{2} | \pi | 2\pi |
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Définition
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls. L'angle orienté entre \vec{u} et \vec{v} se note (\vec{u}, \vec{v}).
On considère le point \text{A} tel que \vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} et le point \text{B} tel que \vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}.
On considère le point \text{A} tel que \vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} et le point \text{B} tel que \vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}.
- Une mesure \bm{\theta} de l'angle \bm{(\vec{u}, \vec{v})} est la mesure de l'angle \widehat{\text{AOB}} en radian, auquel on affecte un signe + dans le cas d'un angle parcouru dans le sens direct et un signe - dans le cas contraire.
- L'ensemble des mesures de (\vec{u}, \vec{v}) sont de la forme \theta+k \times 2 \pi, où k \in \mathbb{Z}.
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Exemples
- Si les vecteurs \vec{u} et \vec{v} forment un angle de 90\degree parcouru dans le sens indirect (sens horaire), on a (\vec{u}, \vec{v})=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi, avec k \in \mathbb{Z}.
Le zoom est accessible dans la version Premium. - Si les vecteurs \vec{u} et \vec{v} forment un angle de 90\degree parcouru dans le sens direct, on a (\vec{u}, \vec{v})=\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi, avec k \in \mathbb{Z}.
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Remarque
L'entier |k| correspond au nombre de tours effectués autour du cercle pour mesurer l'angle.
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Application et méthode - 2
Convertir la mesure d'un angle
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Énoncé
Quelle est la mesure en degré d'un angle égal à \dfrac{\pi}{5} rad ?
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Solution
| Angle en degré | 180\degree | x |
| Angle en radian | \pi | \dfrac{\pi}{5} |
Par proportionnalité, on obtient x=\frac{180 \times \frac{\pi}{5}}{\pi}=\frac{180}{5}=36\degree.
Pour s'entraîner : et p. 180
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On utilise un tableau de proportionnalité pour convertir les degrés en radian ou inversement (\pi rad correspond à un angle de 180\degree).
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C
Mesure principale d'un angle orienté
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Définition
La mesure principale d'un angle orienté est, parmi l'ensemble des mesures de l'angle, la seule qui appartienne à l'intervalle ]-\pi \: ; \pi].
Remarque
Un réel de la forme \frac{a}{b} \pi appartient à ]-\pi \: ; \pi] si, et seulement si,-1\lt \frac{a}{b} \leqslant 1.
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Exemples
1. \frac{3 \pi}{5} est une mesure principale car \frac{3 \pi}{5} \in ]-\pi \: ; \pi ].
2. -\frac{7 \pi}{6} n'est pas une mesure principale car -\frac{7 \pi}{6} n'appartient pas à ]-\pi\: ; \pi].
Comme -\frac{7 \pi}{6}+2 \pi=-\frac{7 \pi}{6}+\frac{12 \pi}{6}=\frac{5 \pi}{6}, alors la mesure principale d'un angle mesurant -\frac{7 \pi}{6} est \frac{5 \pi}{6}.
2. -\frac{7 \pi}{6} n'est pas une mesure principale car -\frac{7 \pi}{6} n'appartient pas à ]-\pi\: ; \pi].
Comme -\frac{7 \pi}{6}+2 \pi=-\frac{7 \pi}{6}+\frac{12 \pi}{6}=\frac{5 \pi}{6}, alors la mesure principale d'un angle mesurant -\frac{7 \pi}{6} est \frac{5 \pi}{6}.
Remarque
Si un angle n'appartient pas à ]-\pi \: ; \pi], alors il suffit d'additionner ou soustraire 2\pi un certain nombre de fois pour retrouver la mesure principale.
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Application et méthode - 3
Déterminer la mesure principale d'un angle
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Énoncé
Déterminer la mesure principale de l'angle orienté de mesure \dfrac{14 \pi}{3}.
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Solution
- \frac{14 \pi}{3} n'appartient pas à ]-\pi \: ; \pi] car \frac{14}{3} \approx 4,7 \notin]-1\: ; 1].
- \frac{14 \pi}{3}-2 \pi=\frac{14 \pi}{3}-\frac{6 \pi}{3}=\frac{8 \pi}{3} n'appartient pas à ]-\pi \: ; \pi] car \frac{8}{3} \approx 2,7 \notin]-1 \: ; 1].
- \frac{8 \pi}{3}-2 \pi=\frac{8 \pi}{3}-\frac{6 \pi}{3}=\frac{2 \pi}{3} appartient à ]-\pi \: ; \pi].
Pour s'entraîner : et
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- Si la mesure de l'angle orienté appartient à ]-\pi \: ; \pi], alors c'est la mesure principale.
- Sinon, on retire (ou on ajoute selon les cas) autant de fois 2\pi que nécessaire jusqu'à obtenir une mesure comprise dans ]-\pi \: ; \pi].
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah