Des vagues en eau peu profonde

La cuve à onde est une installation permettant d'étudier des ondes mécaniques en laboratoire. Elle permet de générer des vagues sinusoïdales à la surface d'une faible épaisseur d'eau et d'observer leur propagation. Un vibreur crée l'onde sinusoïdale ; la lumière émise par une lampe stroboscopique est envoyée, grâce à un miroir, sur un écran (doc. 1). On observe sur l'écran une image contrastée : les zones sombres et claires traduisent les creux et les sommets des vagues successives.

1. Le vibreur génère une onde progressive sinusoïdale de fréquence f = 25 Hz. Deux sommets consécutifs proches de la source sont séparés de 1\text{,}3 cm. Calculer la célérité de l'onde.

2. Calculer la hauteur d'eau à cet endroit de la cuve.

3. En périphérie de la cuve, deux sommets sont séparés de 1\text{,}0 cm. Que peut-on en déduire sur la profondeur de l'eau ?

• Dans le modèle de vague en eau peu profonde (hauteur d'eau h), la célérité des vagues peut être calculée par
  v=\sqrt{g \cdot h} ;
• Intensité de la pesanteur : {g=9\text{,}81} m·s^-2.

1. Les deux sommets successifs sont séparés, par définition, d'une longueur d'onde \lambda. Quel est le lien avec la célérité ?

2. Utiliser les données pour répondre à cette question.

3. Quel est le lien entre la longueur d'onde et la profondeur ?

1. La célérité vaut v_{\text {onde}}=\lambda \cdot f=1\text{,}3 \times 10^{-2} \times 25=0\text{,}33 m·s^-1.

2. D 'après les données, v_{\text {onde}}=\sqrt{g \cdot h}.
On isole h=\dfrac{v_{\text {onde}}^{2}}{g}=\dfrac{0\text{,}33^{2}}{9\text{,}81}=1\text{,}1 \times 10^{-2} m = 1\text{,}1 cm.

3. Si la longueur d'onde diminue, d'après la formule de la question 1., la célérité diminue aussi. Par conséquent h diminue d'après la relation v=\sqrt{g \cdot h} : la hauteur h est en effet proportionnelle à la célérité v_{\text{onde}} au carré. Si celle-ci diminue, h aussi. On peut faire le calcul, la nouvelle célérité vaut :
v_{\text {onde}}^{\prime}=\lambda \cdot f=1\text{,}0 \times 10^{-2} \times 25=0\text{,}25 m·s^-1.
Donc h^{\prime}=\dfrac{v_{\text {onde}}^{\prime 2}}{g}=\dfrac{0\text{,}25^{2}}{9\text{,}81}=6\text{,}4 \times 10^{-3} m =6\text{,}4 mm.

La profondeur est donc moins importante.

1. Attention aux chiffres significatifs et aux unités.

2. Isoler h consiste à écrire l'équation sous la forme h = … ; l'expression littéral doit précéder la résolution numérique.

3. Il n'est pas demandé de faire le calcul : une réponse qualitative suffit, elle s'appuie sur l'exploitation des expressions littérales.