Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
TP Info 1
Test de primalité de Fermat
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Objectif
Utiliser un test probabiliste de primalité afin d'évaluer si un entier \boldsymbol{n} est premier ou non, à l'aide d'une des deux méthodes.
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Méthode 1Tableur
1. a. Dans un tableur, entrer la liste des 46 premiers nombres entiers strictement supérieurs à 2 dans la colonne A.
Dans la cellule B3, entrer la formule : =MOD(2^(A3-1);A3).
Étendre ensuite la formule à toute la colonne. (Fichier téléchargeable .)
Dans la cellule B3, entrer la formule : =MOD(2^(A3-1);A3).
Étendre ensuite la formule à toute la colonne. (Fichier téléchargeable .)
b. À quoi la commande MOD sert‑elle ?
2. D'après le petit théorème de Fermat, quel nombre est affiché dans la colonne B lorsque n est premier ?
3. Si une cellule de la colonne B n'est pas égale à 1, que peut‑on dire du nombre n correspondant ?
4. a. Lister l'ensemble des entiers n inférieurs à 46 dont la cellule de la colonne B est égale à 1.
Que remarque‑t‑on ?
b. Combien vaut 2^{40} modulo 561 ? En déduire 2^{560} [561]. Le nombre 561 est‑il premier ?
c. Finalement, que peut‑on dire lorsque la cellule de la colonne B est égale à 1 ?
2. D'après le petit théorème de Fermat, quel nombre est affiché dans la colonne B lorsque n est premier ?
3. Si une cellule de la colonne B n'est pas égale à 1, que peut‑on dire du nombre n correspondant ?
4. a. Lister l'ensemble des entiers n inférieurs à 46 dont la cellule de la colonne B est égale à 1.
Que remarque‑t‑on ?
b. Combien vaut 2^{40} modulo 561 ? En déduire 2^{560} [561]. Le nombre 561 est‑il premier ?
c. Finalement, que peut‑on dire lorsque la cellule de la colonne B est égale à 1 ?
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Méthode 2Python
1. Dans la fonction ci‑dessous on considère un
entier n \geqslant 3.
À quoi sert la commande % ?
2. a. D'après le petit théorème de Fermat, que renvoie l'algorithme lorsque n est un nombre premier ?
b. Que peut‑on dire lorsque la valeur de F affichée en sortie d'algorithme n'est pas égale à 1 ?
c. Tester cet algorithme pour une dizaine de valeurs afin de vérifier les observations. Que remarque‑t‑on pour n=561 ? Cet entier est‑il premier ?
3. Les observations ci‑dessus servent à élaborer un test permettant de déterminer si le nombre n a des chances d'être premier.
a. Compléter la condition à tester ligne 3.
b. Tester l'algorithme avec quelques valeurs puis tester l'algorithme pour n=154 515 677.
c. Quel est l'avantage et l'inconvénient de cet algorithme par rapport à celui consistant à tester l'ensemble des diviseurs possibles entre 1 et \sqrt{n} ?
À quoi sert la commande % ?
2. a. D'après le petit théorème de Fermat, que renvoie l'algorithme lorsque n est un nombre premier ?
b. Que peut‑on dire lorsque la valeur de F affichée en sortie d'algorithme n'est pas égale à 1 ?
c. Tester cet algorithme pour une dizaine de valeurs afin de vérifier les observations. Que remarque‑t‑on pour n=561 ? Cet entier est‑il premier ?
3. Les observations ci‑dessus servent à élaborer un test permettant de déterminer si le nombre n a des chances d'être premier.
def testfermat2(n):
F = 2**(n-1) % n
if ... :
return("Peut-être premier")
else :
return ("Pas premier")
a. Compléter la condition à tester ligne 3.
b. Tester l'algorithme avec quelques valeurs puis tester l'algorithme pour n=154 515 677.
c. Quel est l'avantage et l'inconvénient de cet algorithme par rapport à celui consistant à tester l'ensemble des diviseurs possibles entre 1 et \sqrt{n} ?
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Les entiers p qui ne sont pas premiers mais qui vérifient a^{p-1} \equiv 1[p], dès lors que a et p sont premiers entre eux, sont appelés les nombres de Carmichael, du nom du mathématicien américain Robert Daniel Carmichael (1879‑1967), qui s'est tout particulièrement intéressé aux propriétés de ces nombres. Il a été démontré en 1994 qu'il existe en fait une infinité de nombres de Carmichael.
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