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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
Travailler autrement
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Production d'élève
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On donne ci‑dessous un énoncé d'exercice et une copie d'élève.
1. Trouver les erreurs de l'élève et préciser les endroits où la rédaction est incomplète.
2. Le professeur souhaite distribuer un corrigé détaillé de l'exercice. Rédiger une telle correction.
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Énoncé
La clé de contrôle x_7 est le reste dans la division euclidienne par 10 de la somme : \mathrm{N}=\left(x_{1}+x_{3}+x_{5}\right)+7\left(x_{2}+x_{4}+x_{6}\right).
1. Calculer la clé du code suivant : 923451•.
2. Un des chiffres du code suivant a été effacé : 134 • 752. Retrouver ce chiffre.
3. Dans cette question, deux des chiffres du code ont été intervertis : au lieu de saisir x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6 x_7, le dactylographe a saisi x_1 x_3 x_2 x_4 x_5 x_6 x_7.
Pour quelles valeurs de x_2 et de x_3 la clé de contrôle ne détecte‑t‑elle pas l'erreur ?
2. Un des chiffres du code suivant a été effacé : 134 • 752. Retrouver ce chiffre.
3. Dans cette question, deux des chiffres du code ont été intervertis : au lieu de saisir x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6 x_7, le dactylographe a saisi x_1 x_3 x_2 x_4 x_5 x_6 x_7.
Pour quelles valeurs de x_2 et de x_3 la clé de contrôle ne détecte‑t‑elle pas l'erreur ?
1. \mathrm{N}=(9+3+5)+7 \times(2+4+1)=17+49=66. Or, \frac{66}{10}=6{,}6.
Le reste de la division euclidienne de \mathrm{N} par 10 est 6. La clé de contrôle est donc 6.
2. \mathrm{N}=(1+4+7)+7 \times\left(3+x_{4}+5\right)=68+7 x_{4}. Pour que 68+7 x_{4}=10 q+2, il faut que x_{4}=2.
En effet 82 = 10×8+2.
3. On a \mathrm{N}_{1}=\left(x_{1}+x_{3}+x_{5}\right)+7 \times\left(x_{2}+x_{4}+x_{6}\right) et \mathrm{N}_{2}=\left(x_{1}+x_{2}+x_{5}\right)+7 \times\left(x_{3}+x_{4}+x_{6}\right). Pour que l'erreur ne soit pas détectée, il faut que \mathrm{N}_{1} \equiv \mathrm{N}_{2}[10], c'est‑à‑dire que 10 |(\mathrm{N}_{1}-\mathrm{N}_{2}).
Or, \mathrm{N}_{1}-\mathrm{N}_{2}=6\left(x_{2}-x_{3}\right). \mathrm{N}_{1}-\mathrm{N}_{2} est donc divisible par 10 si x_2 - x_3=0.
Il faut donc que les deux chiffres soient les mêmes pour que l'erreur ne soit pas détectée.
Le reste de la division euclidienne de \mathrm{N} par 10 est 6. La clé de contrôle est donc 6.
2. \mathrm{N}=(1+4+7)+7 \times\left(3+x_{4}+5\right)=68+7 x_{4}. Pour que 68+7 x_{4}=10 q+2, il faut que x_{4}=2.
En effet 82 = 10×8+2.
3. On a \mathrm{N}_{1}=\left(x_{1}+x_{3}+x_{5}\right)+7 \times\left(x_{2}+x_{4}+x_{6}\right) et \mathrm{N}_{2}=\left(x_{1}+x_{2}+x_{5}\right)+7 \times\left(x_{3}+x_{4}+x_{6}\right). Pour que l'erreur ne soit pas détectée, il faut que \mathrm{N}_{1} \equiv \mathrm{N}_{2}[10], c'est‑à‑dire que 10 |(\mathrm{N}_{1}-\mathrm{N}_{2}).
Or, \mathrm{N}_{1}-\mathrm{N}_{2}=6\left(x_{2}-x_{3}\right). \mathrm{N}_{1}-\mathrm{N}_{2} est donc divisible par 10 si x_2 - x_3=0.
Il faut donc que les deux chiffres soient les mêmes pour que l'erreur ne soit pas détectée.
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Exercices inversés
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1
Déterminer trois exemples d'équations diophantiennes pour lesquelles il n'existe pas de solution.
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2
Déterminer une équation diophantienne pour laquelle l'ensemble des solutions est :
\{(3-2 k\,; 5+3 k) | k \in \mathbb{Z}\}.
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3
1. Déterminer deux exemples d'équations diophantiennes pour lesquelles (2\,; 5) est un couple solution.
2. Déterminer une équation diophantienne pour laquelle (1\,; 1) et (3\,; 2) sont deux couples solutions.
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4
Lors d'un devoir sur table, un élève écrit cette réponse juste :
« Le \text{PGCD} des deux nombres vaut donc 30 et le \text{PPCM} des deux nombres vaut 3\,600. »
Rédiger un énoncé correspondant à cette réponse.
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5
Lors d'une interrogation écrite, un élève écrit :
« Donc le nombre étudié possède 45 diviseurs. »
Donner trois exemples de tels nombres.Ressource affichée de l'autre côté.
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6
On considère l'équation diophantienne :
150 x+90 y=930.
Proposer un problème aboutissant à cette équation.Ressource affichée de l'autre côté.
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7
Voici la réponse à la question d'un énoncé :
« Donc 9 est un inverse de ce nombre modulo 14. »
Écrire un énoncé possible.Ressource affichée de l'autre côté.
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Lors de l'activité (étude de la production d'un élève), on explique de quelle manière fonctionne la clé d'identification d'un article.
À l'aide d'une recherche sur internet, expliquer le fonctionnement de la clé correspondant au numéro de votre carte vitale (code INSEE).
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