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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Cours 5
Entraînement 3
Le petit théorème de Fermat
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70
Flash
Calculer, en simplifiant au maximum, les puissances suivantes. 1. 22^4 modulo 5.
2. 35^6 modulo 7.
3. 12^{17} modulo 17.
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71
Flash
Pour chaque cas déterminer, sans poser la division euclidienne, le reste de la division euclidienne de n par p. 1. n=2^{16} et p=17.
2. n=3^{19} et p=19.
3. n=4^{13} et p=7.
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72
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer le reste de la division euclidienne de n par p. 1. n=3^{52} et p=23.
2. n=4^{89} et p=29.
3. n=15^{100} et p=97.
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73
[Calculer.]
1. On note n=3^{4 \times 6}.
a. Justifier que n \equiv 1[5].
b. Justifier que n \equiv 1[7].
c. En déduire que n \equiv 1[35].
a. Justifier que n \equiv 1[5].
b. Justifier que n \equiv 1[7].
c. En déduire que n \equiv 1[35].
d. Calculer, en simplifiant au maximum, 3^{75} modulo 35.
2. En utilisant la même méthode que précédemment, montrer que 3^{72} \equiv 1[95]. Calculer ensuite 3^{75} modulo 95.
3. Calculer 4^{207} modulo 55.
2. En utilisant la même méthode que précédemment, montrer que 3^{72} \equiv 1[95]. Calculer ensuite 3^{75} modulo 95.
3. Calculer 4^{207} modulo 55.
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74
[Communiquer.]
1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4^{n} \equiv 1[3].
2. Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat que 4^{28}-1 est divisible par 29.
3. Pour 1 \leqslant n \leqslant 4, déterminer le reste de la division euclidienne de 4^n par 17. En déduire que, pour tout entier k, le nombre 4^{4k}-1 est divisible par 17.
2. Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat que 4^{28}-1 est divisible par 29.
3. Pour 1 \leqslant n \leqslant 4, déterminer le reste de la division euclidienne de 4^n par 17. En déduire que, pour tout entier k, le nombre 4^{4k}-1 est divisible par 17.
4. Pour quels entiers naturels n le nombre 4^{n}-1 est‑il divisible par 5 ?
5. À l'aide des questions précédentes, déterminer quatre diviseurs premiers de 4^{28}-1.
5. À l'aide des questions précédentes, déterminer quatre diviseurs premiers de 4^{28}-1.
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75
[Chercher.]
Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, 15^{15^{n}} \equiv 1[11].
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76
[Raisonner.]
1. En utilisant le petit théorème de Fermat, déterminer le chiffre des unités de 3^{80}.
Aide
On pourra commencer par étudier 3^{80} modulo 5 et 3^{80} modulo 2.
2. En utilisant la même méthode, déterminer le chiffre des unités de 7^{28}.
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77
[Raisonner.]
Le but de cet exercice est de montrer que, pour tout n \in \mathbb{N}, n^{7}-n est divisible par 14. 1. En utilisant le petit théorème de Fermat, montrer que, pour tout n \in \mathbb{N}, n^{7}-n est divisible par 7.
2. Montrer que n^{7}-n est divisible par 2. Conclure.
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