Objectif : Savoir comment restreindre le domaine d'étude d'une fonction paire ou impaire et périodique. Savoir résoudre des équations trigonométriques dans \mathbb{R} et des inéquations trigonométriques sur [-\pi\,; \pi].

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Partie A

Soit \text{T} un réel strictement positif et f une fonction définie sur \mathbb{R} à la fois paire et périodique de période \text{T}.

Aide

Une fonction f est paire sur \mathbb{R} lorsque, pour tout x \in \mathbb{R}, f(-x)=f(x).
Une fonction f est périodique de période \text{T} sur \mathbb{R} lorsque, pour tout x \in \mathbb{R}, f(x+\mathrm{T})=f(x).

Démontrer qu'il suffit alors d'étudier la fonction f sur l'intervalle \left[0\,; \frac{\mathrm{T}}{2}\right].

Démontrer que si f est strictement croissante sur [a\,; b], où a et b sont deux réels, alors f est strictement décroissante sur [-b\,;-a].

Partie B

Soit g une fonction définie sur \mathbb{R}. On suppose que g est impaire, périodique de période 6, strictement décroissante sur [0\,; 1] et strictement croissante sur [1\,; 3]

Aide

Une fonction f est impaire sur \mathbb{R} lorsque, pour tout x \in \mathbb{R}, f(-x)=-f(x).

Construire le tableau de variations de g sur [-4\,; 5]. Justifier.

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Justifier que g(0) = 0 et que g(3) = 0 puis résoudre sur [-4\,; 5] puis dans \mathbb{R} l'équation g(x) = 0.

Partie C

Construire un cercle trigonométrique.

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Résoudre sur [-\pi~; \pi] les inéquations \sin (x) \leqslant-\frac{1}{2}, \sin (x)>-\frac{1}{2} et -\frac{1}{2} \leqslant \sin (x)\lt\frac{\sqrt{3}}{2}.

Résoudre dans \R les équations \sin (2 x)=-\frac{1}{2} et \sin \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

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Bilan

Dans quel but étudie‑t‑on la parité ou la périodicité d'une fonction ? Comment résoudre rapidement certaines équations ou inéquations trigonométriques ?

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B
Cosinus et sinus d'une somme et d'une différence de deux réels

Objectif : Déterminer, pour tous réels a, b et x, \cos (a+b), \cos (a-b), \sin (a+b) et \sin (a-b) en fonction de \cos (a), \cos (b), \sin (a) et \sin (b), puis \cos (2x) et \sin (2x) en fonction de \cos (x) et \sin (x).

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Partie A : Détermination de \boldsymbol{\cos (a-b)}

Dans le repère orthonormé ci‑contre, on a représenté une partie du cercle trigonométrique et placé les points \text{A} et \text{B} respectivement associés aux réels a et b de [-\pi \,; \pi] avec a > b.

Après avoir rappelé les coordonnées de \text{A} et \text{B}, calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}.

En utilisant une mesure de l'angle géométrique \widehat{\mathrm{AOB}}, calculer \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}.

Exprimer alors \cos (a-b) en fonction de \cos (a), \cos (b), \sin (a) et \sin (b).

Justifier que cette égalité demeure inchangée lorsque a et b sont deux réels quelconques.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Activité B - Cosinus et sinus d'une somme et d'une différence de deux réels

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Partie B : Détermination de \boldsymbol{\cos (a+b)}

En remarquant que, pour tous réels a et b, a+b=a-(-b), déterminer une formule donnant \cos (a+b).

Partie C : Détermination de \boldsymbol{\sin (a+b)} et \boldsymbol{\sin (a-b)}

Sachant que, pour tout réel x, \sin (x)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right), déterminer des formules donnant \sin (a+b) et \sin (a-b) pour tous réels a et b.

Partie D : Détermination de \boldsymbol{\cos (2x)} et \boldsymbol{\sin (2x)}

a) Exprimer, pour tout x \in \mathbb{R}, \cos (2x) en fonction de \cos (x) et de \sin (x).

b) En utilisant \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1, déterminer deux autres formules pour \cos (2x) uniquement en fonction de \cos (x) ou \sin (x).

Déterminer une formule donnant \sin (2x) en fonction de \cos (x) et de \sin (x).

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Bilan

Quelles formules transformant des expressions trigonométriques peut‑on retenir ?

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C
Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en \bold{0}

Objectif : Montrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en 0 et déterminer leur nombre dérivé en 0.

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Soit x \in] 0\,; \frac{\pi}{2}[. On note \text{M} le point du cercle trigonométrique associé au réel x et \text{T} le point de (\mathrm{OM}) tel que \text{OIT} est rectangle en \text{I}.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Activité C - Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en 0

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a) Donner, en fonction de x, les coordonnées du point \text{M} dans le repère orthonormé (\mathrm{O}\,; \mathrm{I}\,, \mathrm{J}).

b) En utilisant les formules de trigonométrie dans un triangle rectangle, déterminer, en fonction de x, les coordonnées de \text{T} dans le repère orthonormé (\mathrm{O}\,; \mathrm{I}\,, \mathrm{J}).

a) Exprimer, en fonction de x, les aires des triangles \text{OMI} et \text{OTI}, ainsi que celle du secteur angulaire aigu \widehat{\mathrm{IOM}}.

b) Déterminer alors un encadrement de \frac{x}{2}.

a) Montrer que 1 \lt \frac{x}{\sin (x)} \lt \frac{1}{\cos (x)}. En déduire que \cos (x) \lt \frac{\sin (x)}{x} \lt 1.

b) En déduire \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \frac{\sin (x)}{x}.

c) Sachant que la fonction \sin est impaire, déterminer \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \lt 0}} \frac{\sin (x)}{x} puis prouver que \sin est dérivable en 0 et que \sin ^{\prime}(0)=1.

Aide

f est dérivable en 0 lorsque \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\ell, où \ell est un réel (et par la suite \ell=f^{\prime}(0)).

Montrer que, pour tout réel x \neq 0, \frac{\cos (x)-1}{x}=-\left(\frac{\sin (x)}{x}\right)^{2} \times \frac{x}{\cos (x)+1}.

Aide

Pour tout réel x, \sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x).

En déduire que la fonction \cos est dérivable en 0 et que \cos ^{\prime}(0)=0.

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Bilan

Quelles sont les valeurs de \boldsymbol{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \frac{\sin (x)}{x}} et de \boldsymbol{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \frac{\cos (x)-1}{x}} ? Quels résultats découlent de ces limites ?

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Fonctions trigonométriques

ARestriction du domaine d'étude d'une fonction

Partie A

Partie B

Partie C

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BCosinus et sinus d'une somme et d'une différence de deux réels

Partie A : Détermination de \boldsymbol{\cos (a-b)}

Partie B : Détermination de \boldsymbol{\cos (a+b)}

Partie C : Détermination de \boldsymbol{\sin (a+b)} et \boldsymbol{\sin (a-b)}

Partie D : Détermination de \boldsymbol{\cos (2x)} et \boldsymbol{\sin (2x)}

CDérivabilité des fonctions sinus et cosinus en \bold{0}

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Restriction du domaine d'étude d'une fonction

B
Cosinus et sinus d'une somme et d'une différence de deux réels

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