Pour tout entier n \geqslant 2, on note \mathrm{E}(n) l'ensemble de tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à n tels que leur plus grand diviseur commun (\text{PGCD}) avec n soit le nombre 1. Par exemple, \mathrm{E}(4)=\{1~; 3\} et \mathrm{E}(8)=\{1~; 3~; 5~; 7\}. Pour la suite, on considère le nombre \mathrm{S}(n) égal à la somme des valeurs de \cos \left(k \times \frac{2 \pi}{n}\right) lorsque k décrit l'ensemble \mathrm{E}(n). On peut noter \mathrm{S}(n)=\mathop{\sum}\limits_{k \in \mathrm{E}(n)} \cos \left(k \times \frac{2 \pi}{n}\right).
Par exemple, si n=4, alors \mathrm{E}(4)=\{1~; 3\} et \mathrm{S}(4)=\cos \left(1 \times \frac{2 \pi}{4}\right)+\cos \left(3 \times \frac{2 \pi}{4}\right)=0.
De même, \mathrm{S}(8)=\cos \left(1 \times \frac{2 \pi}{8}\right)+\cos \left(3 \times \frac{2 \pi}{8}\right)+\cos \left(5 \times \frac{2 \pi}{8}\right)+\cos \left(7 \times \frac{2 \pi}{8}\right). Questions préliminaires :

Pour chacune des valeurs de n suivantes, décomposer n en produit de facteurs premiers puis déterminer \mathrm{E}(n).

On considère le programme suivant (question 2).

from math import *

def s(n):
	S = 0
  for i in range(1, n):
  	if gcd(i, n) == 1:
    	...
  return S