Mathématiques Terminale Spécialité

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TP INFO 2

Trigonométrie et arithmétique

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Énoncé
Pour tout entier n \geqslant 2, on note \mathrm{E}(n) l'ensemble de tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à n tels que leur plus grand diviseur commun (\text{PGCD}) avec n soit le nombre 1. Par exemple, \mathrm{E}(4)=\{1~; 3\} et \mathrm{E}(8)=\{1~; 3~; 5~; 7\}. Pour la suite, on considère le nombre \mathrm{S}(n) égal à la somme des valeurs de \cos \left(k \times \frac{2 \pi}{n}\right) lorsque k décrit l'ensemble \mathrm{E}(n). On peut noter \mathrm{S}(n)=\mathop{\sum}\limits_{k \in \mathrm{E}(n)} \cos \left(k \times \frac{2 \pi}{n}\right).
Par exemple, si n=4, alors \mathrm{E}(4)=\{1~; 3\} et \mathrm{S}(4)=\cos \left(1 \times \frac{2 \pi}{4}\right)+\cos \left(3 \times \frac{2 \pi}{4}\right)=0.
De même, \mathrm{S}(8)=\cos \left(1 \times \frac{2 \pi}{8}\right)+\cos \left(3 \times \frac{2 \pi}{8}\right)+\cos \left(5 \times \frac{2 \pi}{8}\right)+\cos \left(7 \times \frac{2 \pi}{8}\right). Questions préliminaires :

Pour chacune des valeurs de n suivantes, décomposer n en produit de facteurs premiers puis déterminer \mathrm{E}(n).

1. n=3

2. n=9

3. n=12

4. n=14

5. n=15

6. n=30

7. n=54
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Objectif
Conjecturer les valeurs prises par \boldsymbol{\mathbf{S}(n)} en fonction de \boldsymbol{n} en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1
Calculatrice

Pour n=3, on présente ici les étapes de calcul de \mathrm{S}(n) à la calculatrice.

Aide
On pensera à sélectionner le mode radian.

Placeholder pour Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - TP2 Trigonométrie et arithmétique - calculatriceMaths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - TP2 Trigonométrie et arithmétique - calculatrice
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1. Pour les valeurs de n étudiées dans la question préliminaire, adapter cette méthode et déterminer \mathrm{S}(n).


2. Quel résultat peut‑on conjecturer quant aux différentes valeurs prises par \mathrm{S}(n) ?
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Méthode 2
Python

On considère le programme suivant (question 2).

Remarque

Avec certains environnements Python, on pourra importer le module fractions pour accéder à la commande gcd.
1. Que teste la ligne 6 ?

2. Compléter le programme afin que la fonction s renvoie la somme définie dans l'énoncé (le nombre \pi s'écrit pi en Python).

from math import *

def s(n):
	S = 0
  for i in range(1, n):
  	if gcd(i, n) == 1:
    	...
  return S

3. Déterminer un algorithme qui renvoie une liste contenant l'ensemble des valeurs \mathrm{S}(n), pour n appartenant à la liste :
[3~; 4~; 9~; 12~; 14~; 15~; 30~; 54].

4. Quel résultat peut‑on conjecturer quant aux différentes valeurs prises par \mathrm{S}(n) ?
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Pour aller plus loin

Option maths expertes :
Conjecturer la valeur prise par \mathrm{S}(n) en fonction de la décomposition de n en produit de facteurs premiers.
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