Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 9
TP INFO 1

Coordonnées dépendant du temps

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Énoncé
On se place dans un repère orthonormé. Pour tout instant t \geqslant 0 exprimé en minute, un objet représenté par le point \text{M} est localisé par son abscisse x(t)=\cos (t) et son ordonnée y(t)=\sin (2 t), toutes deux exprimées en mètre. On cherche à tracer la courbe décrite par \text{M} dans ce repère. Question préliminaire :
Montrer qu'aux instants t et t + 2\pi, le point \text{M} a les mêmes coordonnées.
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Objectif
Tracer la courbe décrite par \mathbf{M} et observer des propriétés graphiques en utilisant une des trois méthodes.
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Remarque

Ce type de courbe est appelée courbe paramétrique et sera étudiée après la terminale.
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Méthode 1
Tableur

1. On propose ici de représenter à l'aide du tableur l'ensemble des points obtenus pour des valeurs de t variant de 0 à 2\pi, avec un pas de h.
a. Reproduire et compléter la feuille de calcul ci‑dessous. (Fichier téléchargeable .)

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b. À l'aide de l'outil graphique, en sélectionnant les colonnes B et C, créer un nuage de points de coordonnées (x(t) ; y(t)).

c. Adapter cette méthode avec un pas de h égal à 0{,}2, puis à 0{,}1.

2. Quelle propriété retrouve‑t‑on lorsque le compteur t varie de 0 à 2\pi ?
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Méthode 2
GeoGebra

1. Créer un curseur t allant de 0 à 2\pi, avec un incrément de 0{,}5.

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2. Dans le champ Saisie, créer le point \mathrm{M} :

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3. a. Activer la trace de \text{M} et déplacer le curseur pour observer la courbe décrite par \text{M}.

b. Recommencer avec un incrément de 0{,}2 puis de 0{,}1.

4. Quelle propriété retrouve‑t‑on lorsque le curseur varie de 0 à 2\pi ?

5. Retrouver le profil de la courbe directement à l'aide de la saisie d'une courbe dite « paramétrée » :

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Méthode 3
Calculatrice

1. Démontrer algébriquement que y(t)=2 x(t) \sqrt{1-x^{2}(t)} ou y(t)=-2 x(t) \sqrt{1-x^{2}(t)}.

2. Tracer les courbes des deux fonctions obtenues à la question 1.

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3. Quelles propriétés graphiques observe‑t‑on ?
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Pour aller plus loin

Montrer que si \mathrm{M}(a~; b) est un point de la courbe, alors il en est de même pour les points \mathrm{A}(a~;-b) ; \mathrm{B}(-a~; b) et \mathrm{C}(-a~;-b). Quelles conséquences peut on tirer de cette remarque ?
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