Pour tracer les courbes représentatives des fonctions \sin et \cos sur [0~; \pi], on utilisera les valeurs du sinus et du cosinus des angles remarquables.

1. Résoudre dans \R l'équation (\mathrm{E}): \cos (x)=-0{,}5.
2. Résoudre sur [-\pi~; \pi] l'inéquation (\mathrm{F}): \cos (x) \leqslant-0,5.

• On construit un cercle trigonométrique.
• On positionne sur l'axe des abscisses la valeur du cosinus, ou sur l'axe des ordonnées celle du sinus puis les solutions sur le cercle.
• Par simple lecture graphique, on détermine les solutions.
• Pour résoudre une inéquation sur l'intervalle [a~; b], on part de a pour arriver dans le sens direct à b.
• On peut également utiliser les propriétés précédentes.

La fonction sinus est dérivable sur \R et, pour tout x \in \R, on a \sin ^{\prime}(x)=\cos (x).

Pour tout réel a, on a : \frac{\sin (a+h)-\sin (a)}{h} =\frac{\sin (a) \cos (h)+\sin (h) \cos (a)-\sin (a)}{h}
=\frac{\sin (a)(\cos (h)-1)}{h}+\frac{\sin (h) \cos (a)}{h}
=\sin (a) \times \frac{(\cos (h)-1)}{h}+\cos (a) \times \frac{\sin (h)}{h}.
On a démontré dans l'

activité C

de la page 267 que \lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{\cos (h)-1}{h}=0 et que \lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{\sin (h)}{h}=1.
Ainsi, \lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{\sin (a+h)-\sin (a)}{h}=\sin (a) \times 0+\cos (a) \times 1=\cos (a) et donc la fonction sinus est dérivable sur \R et, pour tout x \in \R, \sin ^{\prime}(x)=\cos (x).

Dans l'

activité B

, on a prouvé que, pour tous réels a et b : \sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\sin (b) \cos (a).

Montrer que f: x \mapsto \sin ^{2}(x) a pour dérivée sur \R la fonction f^{\prime}: x \mapsto 2 \cos (x) \sin (x) et que g: x \mapsto \frac{\sin (x)}{x} a pour dérivée sur \mathbb{R}^{*} la fonction g^{\prime}: x \mapsto \frac{x \cos (x)-\sin (x)}{x^{2}}.

• On justifie que la fonction est bien dérivable sur l'ensemble donné.
• On utilise la dérivée des fonctions trigonométriques, ainsi que les formules de dérivation usuelles, pour calculer les expressions des dérivées demandées.

f est dérivable sur \R comme produit de fonctions dérivables sur \R.

La dérivée de u \times u étant u^{\prime} u+u u^{\prime}=2 u^{\prime} u, on a, pour tout réel x : f^{\prime}(x)=2 \cos (x) \sin (x).

g est dérivable sur \R^* comme quotient de fonctions dérivables sur \R^* à dénominateur non nul.

La dérivée de \frac{u}{v} étant \frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}, on a donc : g^{\prime}(x)=\frac{\cos (x) \times x-1 \times \sin (x)}{x^{2}}=\frac{x \cos (x)-\sin (x)}{x^{2}}.

Exercices

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et

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La fonction cosinus est dérivable sur \R et pour tout x \in \R, on a : \cos ^{\prime}(x)=-\sin (x).

Pour tout réel x, \cos (x)-2 \leqslant-1 donc \cos (x)-2 \neq 0 et la fonction x \mapsto \frac{1}{\cos (x)-2} a pour dérivée sur \R la fonction x \mapsto \frac{\sin (x)}{(\cos (x)-2)^{2}}.

\tan est dérivable sur \mathrm{I}=\left] \frac{-\pi}{2}~; \frac{\pi}{2}\right[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur \text{I} dont le dénominateur ne s'annule pas et, pour tout x \in \mathrm{I}, \tan ^{\prime}(x)=\frac{\cos (x) \cos (x)+\sin (x) \sin (x)}{\cos ^{2}(x)}=\frac{1}{\cos ^{2}(x)}.

Exercices

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