L'étude du mouvement des objets soumis à des forces extérieures fait partie d'une branche de la physique appelée mécanique. Pour décrire ces mouvements, des équations différentielles sont utilisées. Lorsque la seule force qui s'exerce sur un objet est la force de gravité, on parle de chute libre. Si la vitesse initiale de l'objet étudié est nulle et si des frottements (de l'air par exemple) s'exercent sur l'objet, on parle alors de chute verticale avec frottements.

Voici plusieurs ressources à explorer pour préparer votre présentation.

• ❯ Une activité sur le mouvement rectiligne d'un train : Activité
  B
  page 286


• ❯ Une activité pour apprendre à résoudre une équation différentielle modélisant une situation concrète : Activité
  C
  page 287


• ❯ Un exercice sur la chute verticale avec frottements d'un objet : Exercice
  121
  page 305


• ❯ Un cours de physique sur les équations de mouvement dans un champ de gravitation : Chapitre
  13
  du manuel de Physique-Chimie.


• ❯
  Une vidéo
  sur la chute des corps.

Voici des exemples de questions que le jury pourrait vous poser.

• ❯ Quels sont les liens entre les primitives et les équations différentielles ?


• ❯ Quelle est la méthode générale pour résoudre une équation différentielle ?


• ❯ Comment peut-on déterminer la constante présente dans la solution générale ?


• ❯ Que se passe-t-il si la vitesse initiale de l'objet est non nulle ?

• ❯ Les équations de mouvement permettent de déterminer
  la position des planètes et des satellites
  .


• ❯
  Les ingénieur(e)s en mécanique
  doivent étudier les mouvements de machines comme des moteurs ou des trains.


• ❯ Les équations différentielles sont omniprésentes en physique (mécanique des fluides, électromagnétisme, thermodynamique, etc.).

La décroissance radioactive, c'est-à-dire la désintégration spontanée de noyaux d'atomes instables, est un phénomène physique prenant place partout autour de nous, et même à l'intérieur de notre propre organisme. Parler de décroissance radioactive permet d'aborder des sujets tels que la gestion des déchets nucléaires et la radiotoxicologie, et donc l'environnement, mais peut aussi être mis en lien avec l'archéologie, en parlant par exemple de la datation au carbone 14. Mathématiquement ce sujet peut être mis en lien avec les équations différentielles, la fonction exponentielle mais aussi les chapitres de probabilités et de statistiques abordés au lycée.

Voici plusieurs ressources à explorer pour préparer votre présentation.

❯ Des exercices de maths à propos de la désintégration radioactive : TP page

169

du manuel de première, exercice 104 page

179

du manuel de première.

❯ Des exercices de maths sur la datation au carbone 14 :

40

page 438,

125

page 259.

❯ Le cours du manuel de physique-chimie de terminale sur l'évolution temporelle d'une transformation nucléaire, page

106

. On peut notamment signaler les activités pages

110

et

111

sur la désintégration radioactive et le principe de la datation ; l'exercice

26

page 122 pouvant servir de point de départ à un sujet sur la gestion des déchets nucléaires ; et les exercices

28

page 123,

30

page 124 et

32

page 125 pour des exercices sur la datation.

❯ Un cours et des exercices sur la désintégration des noyaux radioactifs dans le manuel d'enseignement scientifique de première : pages

20 et 21

, exercice

3

page 23 (à propos des déchets nucléaires), exercice

6

page 24 (datation).

❯ Une activité sur les centrales nucléaires, dans le manuel d'enseignement scientifique de terminale, pouvant être utilisée dans un sujet sur les déchets nucléaires : activité pages

142 et 143

. Et une activité sur la datation dans ce même manuel : activité page

154

.

Voici des exemples de questions que le jury pourrait vous poser.

❯ Quelle équation différentielle régit la décroissance radioactive ? De quelle famille d'équations différentielles fait-elle partie ? Pouvez-vous en donner une solution ?

❯ Une équation différentielle admet-elle une unique solution ?

❯ Pouvez-vous nous expliquer brièvement ce qu'est la radioactivité ? Existe-t-il une seule radioactivité, ou plusieurs ? Quelles sont leurs différences ?

❯ Qu'est-ce que la durée de demi-vie d'un isotope radioactif ? Comment déterminer le temps de demi-vie d'un isotope ?

❯ Pourquoi parle-t-on de processus aléatoire lorsqu'on étudie la décroissance radioactive ? Peut-on vraiment prédire avec précision cette évolution ?

❯ Lorsqu'on parle de décroissance radioactive, on s'intéresse à un nombre d'éléments radioactifs. Peut-on compter un nombre d'isotopes radioactifs ?

❯ Pouvez-vous citer quelques utilisations concrètes de la radioactivité ?

❯ Pouvez-vous nous expliquer le principe de la datation ? Est-ce qu'une datation se fait obligatoirement en mesurant un taux en carbone 14 ?

❯ Quel appareil est utilisé pour mesurer la radioactivité d'un lieu ou d'un objet ? En quelle unité mesure-t-on la radioactivité d'un élément ?

❯ Ce sujet peut évidemment être mis en lien avec tous les métiers touchant de près ou de loin au nucléaire :

ingénieur(e) nucléaire,

chef(fe) de projet démantelement nucléaire,

ingénieur(e) d'études en sûreté nucléaire,

ingénieur(e) radioprotection,

technicien(ne) radioprotection,

etc.

❯ Ce sujet peut aussi être mis en lien avec le domaine médical, notamment avec le métier de

manipulateur(trice) en électroradiologie médicale.

❯ Si le sujet est basé sur le principe de la datation, il peut être mis en lien avec une orientation vers

les métiers de l'archéologie

ou de

la paléontologie.

La météorologie est la science qui s'intéresse à l'étude des phénomènes atmosphériques. L'air étant un fluide, un sujet sur les prévisions météorologiques repose en grande partie sur les théories de l'écoulement des fluides commencées à être abordées en classe de terminale dans le programme de spécialité physique-chimie. Mathématiquement, les modèles météorologiques utilisés actuellement sont constitués d'un très grand nombre d'équations différentielles modélisant le mieux possible l'atmosphère de notre planète. Elles doivent être résolues chaque jour afin de prédire au mieux la météo du lendemain et des prochains jours. Traiter d'un sujet sur la météorologie amène donc à s'intéresser de plus prêt aux notions d'équations différentielles, mais aussi et surtout de conditions initiales, qui sont, plus que jamais, importantes dans cette branche des sciences. S'intéresser à la météorologie permet aussi de se poser des questions, si l'option maths expertes a été choisie, sur la recherche d'inverse de matrices, et plus particulièrement sur la difficulté d'une telle opération sur des matrices de très grandes tailles. Enfin, mathématiquement, un sujet sur la météorologie peut aussi aborder la méthode de Monte-Carlo, l'aléatoire et la loi des grands nombres.

Voici plusieurs ressources à explorer pour préparer votre présentation.

❯ Un exercice du livre de physique-chimie terminale sur l'atmosphère assimilée à un gaz parfait : Exercice

34

page 382.

❯ Une

vidéo

de Météo-France sur les dépressions et les anticyclones, à mettre en lien avec la notion de pression, l'équation des gaz parfaits et la densité de l'air.

❯ Des

activités

niveau lycée proposées par Météo-France sur la météo et le climat.

❯ Une activité du manuel d'enseignement scientifique de terminale mettant en évidence l'importance des données statistiques en météorologie : Activité pages

34 et 35

.

❯ Se renseigner sur la notion de prévisions d'ensemble. Pour mieux comprendre cette notion, il peut être utile de se renseigner sur la famille des méthodes de Monte-Carlo que l'on peut retrouver dans le manuel de maths spécialité terminale : TP page

416

, et dans le manuel de première : TP page

292

.

❯ Se renseigner sur les équations de Lorenz, un système d'équations différentielles utilisé dans la modélisation de l'atmosphère terrestre.

❯ Des exercices sur la recherche de solutions approchées à une équation différentielle : TP page

296

, exercice

123

page 305. Des méthodes similaires, mais plus performantes, sont utilisées par les météorologues pour résoudre les équations différentielles de leur modèle, et ainsi obtenir leurs prédictions météorologiques.

❯ Un TP sur la recherche de l'inverse d'une matrice de taille 2 \times 2 et 3 \times 3 dans le manuel de maths expertes : TP page

189

. La méthode présentée dans ce TP peut être testée sur des matrices de taille 4 \times 4 ou plus afin de se rendre compte de la complexité d'un tel processus pour des matrices de grandes tailles.

Un circuit électrique comportant des composants tels que des condensateurs ou des bobines ne peut être proprement étudié mathématiquement qu'en utilisant la notion d'équation différentielle. Il s'agit d'utiliser des lois physiques pour déterminer des équations reliant la tension du courant en un point du circuit avec la dérivée, ou la dérivée seconde, de cette même grandeur. Dans le cas d'un circuit RL, l'équation différentielle obtenue est une équation linéaire d'ordre 1, mettant donc en jeu l'exponentielle que ce soit lors de la charge ou de la décharge du circuit. Dans le cas d'un circuit RLC, l'équation différentielle obtenue est linéaire d'ordre 2, et la tension suit alors une évolution pouvant être caractérisée grâce à des fonctions trigonométriques.

Voici plusieurs ressources à explorer pour préparer votre présentation.

• ❯ Une activité sur les circuits électriques RL et les équations différentielles linéaires d'ordre 1 : Activité
  C
  page 287.


• ❯ Deux exercices sur la résolution d'équation différentielle d'ordre 2 : Exercice
  127
  page 306 et exercice
  128
  page 306.


• ❯ Un chapitre sur les circuits RC dans le manuel de spécialité Physique-Chimie : Chapitre
  21
  .


• ❯ Une page
  Wikipédia
  sur les circuits RLC.

Nombre d'or, géométrie plane, géométrie spatiale, pavages, etc. les branches des mathématiques utilisées en architecture sont nombreuses. Il est possible d'aborder un tel sujet en parlant uniquement de l'utilisation « créative » des mathématiques en architecture : Comment un architecte utilise-t-il des figures géométriques et des notions mathématiques pour construire un bâtiment esthétique et conforme à sa vision ? Mais il peut aussi être intéressant de s'intéresser aux contraintes auxquelles un architecte doit faire face : taille minimale des pièces, taille minimale d'un couloir, intégrité structurelle, etc. On peut aussi aborder, d'un point de vue mathématique et physique, le sujet des matériaux en eux-mêmes. De leurs qualités, de leurs défauts, de pourquoi un matériau est choisi plutôt qu'un autre. Enfin, en lien avec la SVT, un sujet sur l'architecture peut aussi s'intéresser au choix des lieux constructibles, sur la composition des terrains et sur les zones inondables.

Voici plusieurs ressources à explorer pour préparer votre présentation.

❯ Les images d'ouverture des chapitres

2

(page 55) et

3

(page 87) présentent deux bâtiments représentant particulièrement bien la place des mathématiques dans l'architecture.

❯ Un TP sur la modélisation de surfaces par des fonctions à deux variables :

TP1

page 70.

❯ Un

document

présentant quelques utilisations des mathématiques dans l'architecture.

❯ Une

activité informatique

sur la relation de Blondel, une relation utilisée lors de la conception d'escaliers. À mettre possiblement en lien avec la notion de partage et de suite.

❯ Un chapitre dans le manuel de physique sur les bilans d'énergie thermique : Chapitre

16

.

❯ Une

vidéo

de la destruction du pont du détroit de Tacoma, à mettre en relation avec la notion physique de résonance.

Où construire une nouvelle route ? Quelle rue passer en sens unique ? Comment éviter au maximum les embouteillages sur une portion d'autoroute ? Quelle durée attribuer à un feu rouge afin de fluidifier le plus possible le trafic ? Telles sont des questions que des urbanistes et des ingénieurs doivent se poser jour après jour afin de simplifier et rendre le plus agréable possible la vie de chacun des usagers de la route. Diverses branches des mathématiques sont au cœur de ces questions : les statistiques et les probabilités évidemment, mais aussi la théorie des graphes, les équations aux dérivées partielles ou bien encore la théorie des jeux. D'un point de vue physique, il peut être intéressant de considérer le trafic routier… comme une onde.

Voici plusieurs ressources à explorer pour préparer votre présentation.

• ❯ Des exercices sur la modélisation de réseaux routiers par des graphes dans le manuel de mathématiques : Exercice
  74
  page 196, exercice
  86
  page 199 et exercice
  99
  page 204.


• ❯ Un exercice sur les feux rouges et la fluidité du trafic : Exercice
  53
  page 398.


• ❯ Une
  vidéo youtube
  sur la création des embouteillages accordéons, pour aller plus loin sur le sujet, une
  page internet
  sur le même sujet.


• ❯ Un chapitre du manuel de première de physique-chimie sur les ondes : Chapitre
  16
  .