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Arithmétique
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Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
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Grandeurs et mesures
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Dossier brevet
Chapitre 16
Les maths autrement
Les secrets de racine carrée de 2
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Présentation
Vous savez construire un segment de longueur \sqrt{2} cm : c'est la diagonale d'un carré de 1 cm de côté. Mais savez-vous que nous ne pouvons écrire la racine carrée de 2 ni sous la forme d'un nombre décimal ni sous la forme d'une fraction ? On dit que c'est un nombre irrationnel. Déjà vers 1 700 avant J.-C., les Babyloniens ont essayés d'en avoir une valeur approchée. Leur méthode géométrique de détermination des racines carrées aurait inspiré Héron d'Alexandrie (Ier siècle après J.-C.).
Héron d'Alexandrie
Héron d'Alexandrie est un savant grec qui a mis au point plusieurs machines avec des mécaniques assez complexes. On lui attribue aussi une formule permettant de déterminer l'aire d'un triangle sans connaitre de hauteur.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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- J'émets une hypothèse
- J'utilise l'outil informatique pour représenter des informations et effectuer des calculs
- J'argumente et j'échange sur une démarche mathématique
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Étape 1Nombre irrationnel
Supposons que \sqrt{2} soit un nombre rationnel, on peut donc l'écrire sous la forme d'une fraction irréductible \dfrac{a}{b} , avec a et b premiers entre eux (n'ayant que 1 comme diviseur commun). On a donc \sqrt{2} = \dfrac{a}{b}.
1. Démontrez que a^2 = 2b^2.
2. Quels peuvent être les chiffres des unités du carré d'un nombre entier ? Puisque a^2 est le double de b^2 , quel est son chiffre des unités ?
3. Avec quelle hypothèse de départ est-ce contradictoire ?
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Étape 2Approximation par la méthode de Héron
La méthode de Héron est une méthode pour extraire une racine carrée, c'est-à-dire pour en donner une valeur approchée. Prenons un nombre entier n positif.
1. Démontrez que \dfrac{n}{ \sqrt{n}} = \sqrt{n}.
2. On considère un nombre a compris entre 0 et \sqrt{n}. Montrez que a \leq \sqrt{n} \leq \dfrac{n}{a}.
3. Ouvrez un document dans un tableur. En B1, indiquez le nombre n dont vous voulez extraire la racine carrée et en A2 rentrez une première approximation a, par exemple à l'unité.
4. Dans la cellule B2, saisissez une formule donnant le quotient de n par a.
5. Dans la cellule A3, saisissez une formule qui calcule la moyenne des deux nombres de la ligne 2.
6. Tirez ces formules vers le bas pour obtenir de meilleures approximations.
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5. Dans la cellule A3, saisissez une formule qui calcule la moyenne des deux nombres de la ligne 2.
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