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Chapitre 16
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Le théorème de Pythagore
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Activité 1À l'attaque !
J'approfondis
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Compétence
Je choisis un cadre adapté (numérique, algébrique ou géométrique) pour traiter un problème
Mattéo et Yasmine visitent le château de Guédelon, dont les remparts mesurent 10 m de haut. Impressionnée, Yasmine s'exclame :
« − Eh bien, ça ne devait pas être facile d'attaquer un château ! En plus, à l'époque, ils entouraient probablement leurs châteaux de douves.
− Avec une simple échelle, on doit pouvoir passer par-dessus les murs et les douves, non ?
− Tu penses qu'une échelle, disons de 11 m, aurait suffit à passer par-dessus ces murailles-là ? »
« − Eh bien, ça ne devait pas être facile d'attaquer un château ! En plus, à l'époque, ils entouraient probablement leurs châteaux de douves.
− Avec une simple échelle, on doit pouvoir passer par-dessus les murs et les douves, non ?
− Tu penses qu'une échelle, disons de 11 m, aurait suffit à passer par-dessus ces murailles-là ? »
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Partie 1 Le théorème de Pythagore
Pour répondre à la question de Yasmine, il faut connaitre la formule de Pythagore !C'est une formule mathématique qui relie les longueurs des côtés des triangles rectangles. Essayez de la deviner à l'aide des questions ci-après.
1
Tracez les triangles \text{EFG} rectangle en \text{G}, \text{HIJ} rectangle en \text{I}, \text{KLM} rectangle en \text{K} et \text{NOP} rectangle en \text{P} à l'aide des données de l'.
GeoGebra
2
Mesurez le côté opposé à l'angle droit (on l'appelle « hypoténuse ») et complétez le tableau suivant :| Triangle | Côté | Longueur |
|---|---|---|
| Triangle A | EG | 4 |
| GF | 3 | |
| EF |
| |
| Triangle B | HI | 8 |
| IJ | 15 | |
| HJ |
| |
| Triangle C | KL | 6 |
| KM | 8 | |
| LM |
| |
| Triangle D | OP | 5 |
| PN | 12 | |
| ON |
|
3
Les 3 côtés d'un triangle rectangle ont un lien particulier. Pouvez-vous deviner lequel ?Coup de pouce
Dans chaque tableau, ajoutez une colonne dans laquelle vous multiplierez la longueur de chaque côté par elle‑même.
| Triangle | Côté | Longueur | Carré de la longueur |
|---|---|---|---|
| Triangle A | EG | 4 | 4 × 4 = 16 |
| GF | 3 | 3 × 3 = 9 | |
| EF |
|
| |
| Triangle B | HI | 8 |
|
| IJ | 15 |
| |
| HJ |
|
| |
| Triangle C | KL | 6 |
|
| KM | 8 |
| |
| LM |
|
| |
| Triangle D | OP | 5 |
|
| PN | 12 |
| |
| ON |
|
|
Vocabulaire
Lorsqu'on multiplie un nombre par lui‑même, on obtient son « carré » ; on le note « 2 ». Par exemple, 5^{2}=5 \times 5=25.
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Partie 2 Mattéo passe à l'attaque
Maintenant que vous avez deviné la formule de Pythagore, répondez à la question initiale :
1
Mattéo pourra-t-il réussir l'attaque du château de Yasmine ? Coup de pouce
Dans le triangle formé par le château, les douves et l'échelle, cherchez le côté manquant. L'échelle arrive-t-elle assez haut pour passer au dessus des remparts ? Vous pouvez comparer les longueurs ou simplement leurs carrés.
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Activité 2Bricolage, maçonnerie et théorème de Pythagore
J'approfondis
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Compétence
Je modélise une situation à l'aide d'un schéma, d'un tableau ou d'un arbre
La formule de Pythagore permet également de vérifier si un triangle est bien rectangle et plus généralement la perpendicularité, en maçonnerie ou en bricolage par exemple.
Aidez Yasmine et Mattéo dans les situations suivantes :
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Partie 1Un meuble à monter soi même
Yasmine monte l'armoire qu'elle vient d'acheter. Elle a l'impression que son meuble n'est pas droit mais elle n'a pas de niveau. Que doit-elle mesurer pour le vérifier ?1
Recopiez la figure et dessinez-y le triangle que vous souhaiteriez rectangle.GeoGebra
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2
Dans ce triangle, élevez chaque longueur au carré (en la multipliant par elle-même).3
Ajoutez les deux plus petits résultats. Que constatez-vous ?4
L'armoire est-elle droite ?Ressource affichée de l'autre côté.
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Partie 2 Pythagore maçon
Mattéo construit des murs de pierres. Il veut vérifier que les deux murs sont bien perpendiculaires avant de continuer son travail.
Comment peut-il s'y prendre ?
Les deux côtés déjà construits mesurent respectivement 152 cm et 77 cm de long.
Comment peut-il s'y prendre ?
Les deux côtés déjà construits mesurent respectivement 152 cm et 77 cm de long.
1
Modélisez la situation par un triangle, que l'on supposera rectangle. Codez la figure.GeoGebra
2
Élevez les longueurs des deux côtés de l'angle droit au carré, puis sommez-les.3
Pour retrouver la longueur de l'hypoténuse, il faut faire le contraire de « élever au carré » : cela s'appelle « calculer une racine carrée ». Pour cela, utilisez la touche « racine carrée » de votre calculatrice (\sqrt{ }).4
Mattéo mesure l'hypoténuse sur son chantier et trouve 233 cm. Peut-il considérer que son résultat est satisfaisant et continuer ses travaux ?
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