4. Calcul du plus court chemin

Marie et Paul ont décidé de passer l'après-midi au parc. Marie est arrivée en avance et s'est assise sur un banc. Lorsque Paul arrive au parc, plusieurs chemins s'offrent à lui pour rejoindre Marie. Quel chemin semble le plus rapide ?

Le chemin le plus court entre deux points A et B est le segment [AB]. La longueur du chemin est alors la longueur AB. On appelle également cette longueur distance de A à B.

Marie et Paul, toujours au parc, ont décidé de faire la course. Le gagnant sera le premier à atteindre le bord de la rivière. À un moment donné de la course, ils sont placés comme indiqué sur le plan ci-contre :

a. Reproduire la figure en la décalquant et dessiner deux chemins, un pour Paul, et un pour Marie, qui leur permettrait de rejoindre la rivière.
b. Pour chacun d'entre eux, quel est le chemin le plus court pour rejoindre la rivière ?

Pour connaitre le chemin le plus court entre un point A et une droite d, on trace la droite perpendiculaire à d passant par A. On appelle B le point d'intersection entre les deux droites. Alors la distance la plus courte entre le point A et la droite d est la longueur AB.

• On trace la perpendiculaire à d passant par A.
• En notant B le point d'intersection de la perpendiculaire avec la droite d, la distance du plus court chemin entre le point A et la droite d est la longueur AB. Ici AB = 2 cm.

Paul et Marie veulent maintenant sauter par-dessus la rivière. Les deux rives sont parallèles.

a. Dans quelle direction Paul et Marie doivent-ils sauter pour faire le saut le plus court possible ? (Se rappeler le paragraphe précédent.)
b. Que constate-t-on sur la longueur des plus courts sauts que Paul et Marie effectuent ?

• Le court chemin entre deux droites parallèles d et d' est obtenu en traçant n'importe quelle droite perpendiculaire aux deux droites.
• Si on note A et A' les points d'intersection entre cette perpendiculaire et les droites d et d', alors la distance entre les deux droites est la longueur AA'.

La distance du plus court chemin entre les droites d_1 et d_2 d'une part, et les droites d_3 et d_4 d'autre part.