Mathématiques 6e

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Chapitre 13
Pas à pas

1. Parallélépipède rectangle

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A
Représentation

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Découvrir

a. Prendre une brique de lait. Quelle est la forme de chacune de ses faces ?
b. Quelles sont les faces qui ont exactement la même forme et la même taille ?


Placeholder pour Illustration carton lait, vache, fond bleuIllustration carton lait, vache, fond bleu
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Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide possédant 6 faces, dont tous les angles sont des angles droits.

  • Le pavé droit ABCDEFGH.
    Placeholder pour Diagramme illustrant deux représentations d'un cube, l'une avec des faces colorées, l'autre avec des lignes pointillées indiquant la profondeur.Diagramme illustrant deux représentations d'un cube, l'une avec des faces colorées, l'autre avec des lignes pointillées indiquant la profondeur.

  • On ne voit pas le point E, il est derrière le pavé.
  • La perspective cavalière permet de représenter ce que l'on ne voit pas en réalité.

 
Remarque : 
Sur les côtés, les angles droits sont vus de biais. On a l'impression qu'ils ne sont pas droits, mais ils le sont bien !
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  • Un parallélépipède rectangle possède :
    • 6 faces ;
    • 8 sommets ;
    • 12 arêtes.
    Placeholder pour Diagramme illustrant un parallélépipède rectangle, ses faces, arêtes et sommets.Diagramme illustrant un parallélépipède rectangle, ses faces, arêtes et sommets.

  • Un cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les arêtes sont de même longueur. Toutes les faces d'un cube sont alors des carrés !
    • Un dé à 6 faces est un cube.
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Refaire
Représenter un pavé droit en perspective cavalière

Représenter en perspective cavalière un parallélépipède rectangle de dimensions 3 cm, 5 cm et 8 cm.
On construit un rectangle dont les côtés mesurent 3 cm et 5 cm.

Placeholder pour Schéma dessiné: étapes de représentation d'un pavé droit en perspective. Vue de dessus, puis en perspective cavalière avec traits fins et parallèles, puis avec arêtes visibles et cachées.Schéma dessiné: étapes de représentation d'un pavé droit en perspective. Vue de dessus, puis en perspective cavalière avec traits fins et parallèles, puis avec arêtes visibles et cachées.
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Exercice 1
Représenter en perspective cavalière des parallélépipèdes de dimensions

1. 3 cm, 4 cm et 5 cm
2. 4 cm, 7 cm et 12 cm
3. 5 cm, 5 cm et 5 cm
4. 8 cm, 2 cm et 9 cm
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  • La perspective cavalière permet de représenter des parties d'un pavé qui ne seraient pas visibles autrement.
  • On peut donc représenter :
    • les sommets
    • les arrêtes de même longueur, qui sont parallèles;

Placeholder pour Schéma : trois représentations d'un parallélépipède ; lignes rouges et pointillées indiquant les transformations géométriques.Schéma : trois représentations d'un parallélépipède ; lignes rouges et pointillées indiquant les transformations géométriques.


les 24 angles droits ;

Placeholder pour Illustration : pavé géométrique coloré, découpé en petits cubes multicolores, avec une ligne en pointillés en diagonale.Illustration : pavé géométrique coloré, découpé en petits cubes multicolores, avec une ligne en pointillés en diagonale.


les faces parallèles.

Placeholder pour Illustration : trois schémas de parallélépipèdes ; un plan diagonal les divise en deux parties.Illustration : trois schémas de parallélépipèdes ; un plan diagonal les divise en deux parties.
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  • Deux faces voisines sont perpendiculaires.
  • Deux arêtes issues d'un même sommet sont perpendiculaires.
Placeholder pour Diagramme illustrant deux parallélépipèdes rectangles, l'un orange, l'autre blanc, montrant des lignes perpendiculaires.Diagramme illustrant deux parallélépipèdes rectangles, l'un orange, l'autre blanc, montrant des lignes perpendiculaires.
 
Remarque : 
  • En perspective cavalière, les droites réellement parallèles sont effectivement représentées par des droites parallèles.
  • Les dimensions des arêtes ainsi que les angles choisis vus de face sont respectés. Les autres dimensions et les autres angles droits ne sont pas respectés.
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B
Construction

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Découvrir

Prendre un parallélépipède rectangle en carton (par exemple une boîte de mouchoirs) et le découper selon les arêtes desssinées en bleu.

Quelle forme obtient-on, une fois le pavé déplié ?

Placeholder pour Dessin d'un parallélépipède rectangle en perspective, représenté avec des lignes pleines et des lignes en pointillés pour indiquer la profondeur.Dessin d'un parallélépipède rectangle en perspective, représenté avec des lignes pleines et des lignes en pointillés pour indiquer la profondeur.
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Un patron permet de représenter à plat un solide. Une fois recopié, il suffit de découper et de plier le patron pour obtenir le solide.

Placeholder pour Illustration : trois cubes déconstruits, lignes colorées, étapes transformation géométrique.Illustration : trois cubes déconstruits, lignes colorées, étapes transformation géométrique.

Remarque : 
Il existe plusieurs patrons possibles pour un même solide.

Exemple : Voici deux patrons du même parallélépipède rectangle. Les faces opposées sont coloriées de la même couleur.

Placeholder pour Diagramme géométrique : deux parallélépipèdes rectangles décomposés en blocs colorés (violet, orange, vert).Diagramme géométrique : deux parallélépipèdes rectangles décomposés en blocs colorés (violet, orange, vert).
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Exercice 2
Reproduire, découper et plier les patrons ci-dessous afin d'obtenir deux parallélépipèdes rectangles

Placeholder pour Diagramme: formes géométriques colorées (violet, orange, vert) assemblées différemment.Diagramme: formes géométriques colorées (violet, orange, vert) assemblées différemment.
On pourra les agrandir.

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  • Dans un patron, les faces et les arêtes sont représentées en vraie grandeur.
  • Pour un parallélépipède rectangle, les faces sont des rectangles.
  • En perspective cavalière, des segments parallèles sont forcément représentés parallèlement.
  • En perspective cavalière, des segments perpendiculaires ne sont pas forcément représentés perpendiculairement.
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Mesurer les dimensions d'un pavé droit sur son patron

Quelles sont les dimensions du pavé droit associé à ce patron ?
  • Sur ce patron, il y a des arêtes de trois longueurs différentes. On les mesure avec la règle.    
  • Les dimensions du parallèpipède rectangle sont donc de 1,2 cm par 0,8 cm par 0,4 cm.
Placeholder pour Schéma : patron d'un pavé droit avec dimensions (0,7cm x 0,3cm x 1cm).Schéma : patron d'un pavé droit avec dimensions (0,7cm x 0,3cm x 1cm).
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Exercice 3
Quelles sont les dimensions...

Placeholder pour Diagramme: 3 modèles de construction différents, composés de blocs carrés.Diagramme: 3 modèles de construction différents, composés de blocs carrés.

1. ... associées au patron a.?
2. ... associées au patron b.?
3. ... associées au patron c.?
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