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Mathématiques Cycle 4

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Grandeurs et mesures
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Ch. 13
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Problèmes résolus
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Chapitre 17
Exercices

Questions Flash - Je m'entraine

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Questions flash

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\text{ABC} est un triangle. Les droites \text{(MN)} et \text{(BC)} sont parallèles.
Cette figure servira pour les exercices 1 à 3
Graphique d'un triangle ABC

1.  Dʼaprès le théorème de Thalès...







2.  Selon le théorème de Thalès, quelle(s) égalité(s) est/sont vraie(s) ?







3.  Dans quel(s) cas peut-on calculer \textbf{BC} ?







4.  Les droites \text{(IJ)} et \text{(KL)} sont parallèles. Quelle est la mesure de \text{IO} ?
Graphique de deux droites IJ et KL

     

5.  Les points \textbf{B}, \textbf{A}, \textbf{E} sont alignés dans cet ordre, les points \textbf{C}, \textbf{A}, \textbf{D} sont alignés dans cet ordre. Les droites \textbf{(BC)} et \textbf{(ED)} sont parallèles. Quelle affirmation est vraie ?
Deux droites BC et ED







6.  Soit une figure dʼaire \textbf{16 cm}^{2}. Après une réduction, on obtient une figure dʼaire \textbf{4~cm}^{2}. Quel est le rapport de réduction ?

     
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Je m'entraine

Le théorème de Thalès
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1
Les droites de couleur sont parallèles. Donnez tous les rapports de longueurs égaux.

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème.

Placeholder pour Diagramme géométrique: deux triangles, un avec lignes sécantes, l'autre avec segments parallèles. Points A, B, C, D, E indiqués.Diagramme géométrique: deux triangles, un avec lignes sécantes, l'autre avec segments parallèles. Points A, B, C, D, E indiqués.
1. Donnez tous les rapports de longueurs égaux.
 2. Donnez tous les rapports de longueurs égaux.
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2
Justifiez.

Placeholder pour Diagramme géométrique: quatre schémas illustrent des triangles et des lignes parallèles coupées par des sécantes. Angles et propriétés géométriques sont indiqués.Diagramme géométrique: quatre schémas illustrent des triangles et des lignes parallèles coupées par des sécantes. Angles et propriétés g�éométriques sont indiqués.
1. Peut-on utiliser le théorème de Thalès dans cette situation ?
 2. Peut-on utiliser le théorème de Thalès dans cette situation ?
 3. Peut-on utiliser le théorème de Thalès dans cette situation ?
 4. Peut-on utiliser le théorème de Thalès dans cette situation ?
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3
Calculez les longueurs demandées.

1. \text{(BC)} et \text{(DE)} sont parallèles. Calculez \text{AE} et \text{AC}.
Graphique d'un triangle

Calculez \text{AE}, \text{AC} et \text{DE}.
Graphique d'un triangle
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4
Calculez les longueurs demandées.

1. \text{(AB)} et \text{(CD)} sont parallèles. Calculez \text{MB}. Que pouvez-vous dire du quadrilatère \text{ABDC} ?
Deux droites AB et CD qui sont parralèles
 2. \text{(MN)} et \text{(BC)} sont parallèles. On donne \text{AB=9~cm}, \text{AC=12~cm}, \text{BC=7~cm},\text{AM=3~cm} et \text{OB=6~cm}.
Calculez \text{AN}, \text{MN}, \text{ON}.
Deux droites AB et CD qui sont parralèles
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5
Quelles questions poser ?

✔ J'émets une hypothèse.

Les droites \text{(SA)} et \text{(OK)} sont parallèles. On sait que \text{SA = 5~cm}, \text{KR = 7,2~cm}, \text{OR = 6,84~cm} et \text{OA = 3,8~cm}.
Les questions de cet exercice ont été effacées, mais il reste ci-dessous des calculs effectués par un élève.
En utilisant tous les calculs suivants, rédigez précisément les questions auxquelles l'élève a répondu.

Graphique d'un triangle
1. 6\text{,}84 - 3\text{,}8 = 3\text{,}04
 2. \dfrac{5\times6\text{,}84}{3\text{,}04}=11\text{,}25
 3. 7\text{,}2 + 6\text{,}84 + 11\text{,}25 = 25\text{,}29
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6
Savoir refaire
\textbf{ABC} est un triangle rectangle en \textbf{B} tel que \textbf{AB = 6~cm} et \textbf{AC = 10~cm}.

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème.

Graphique lié à l'exercice 11
1. Calculez \text{BC}.
 2. Le point \text{M} sur \text{[BC]} est tel que \text{BM = 3~cm}. Calculez \text{CM}.
 3. La perpendiculaire à \text{(BC)} passant par \text{M} coupe \text{[AC]} en \text{N}. Calculez \text{CN}.
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7
\textbf{ABC} est un triangle tel que \textbf{AB = 5~cm} et \textbf{AC = 8~cm}.

\text{M} est le point de \text{[AB]} tel que \text{AM = 2~cm}. On trace la parallèle à \text{[BC]} passant par \text{M} qui coupe \text{[AC]} en \text{N}.

1. Tracez une figure correspondante.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2. Calculez \text{AN}.
 3. Pouvez-vous calculer \text{MN} et \text{BC} ? Exprimez \text{MN }en fonction de \text{BC}.
 4. Complétez le tableau suivant :

Valeur de \text{MN} \text{(cm)} \text{2} \text{3} \text{4} \text{5} \text{10}
Valeur de \text{BC} \text{(cm)}
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8
\textbf{PQR} est un triangle tel que \textbf{PQ = 3,6~cm}, \textbf{QR = 4,8~cm} et \textbf{PR = 6~cm}.

1. Tracez le triangle \text{PQR}.
 2. Montrez que \text{PQR} est un triangle particulier.
 3. \text{O} est le point de \text{[PQ]} tel que \text{OP = 3~cm}. On trace la parallèle à \text{(QR)} passant par \text{O} ; elle coupe \text{[RP]} en \text{M}.
 4. Montrez que \text{POM} est une réduction de \text{PQR} dont vous préciserez le rapport.
 5. Quelle est la nature de \text{POM} ?
 6. Calculez \text{PM} et \text{OM}.
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9
Savoir refaire
\textbf{AMN} est un triangle rectangle en \textbf{M}. \textbf{B} et \textbf{C} sont les symétriques respectifs de \textbf{M} et \textbf{N} par rapport à \textbf{A}.

✔ Je structure mon raisonnement

Graphique d'un traingle rectangle AMN
1. Calculez \text{AM}.
 2. Les droites \text{(BC)} et \text{(MN)} sont-elles parallèles ?
 3. Calculez \text{BC}.
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10
Le quadrilatère \textbf{ABCD} est un rectangle tel que \textbf{AB = 15~cm} et \textbf{BC = 5~cm}.

✔ Je choisis un cadre adapté (numérique, algébrique ou géométrique) pour traiter un problème.

Le point \text{M} est sur le segment \text{[CD]} tel que \text{DM = 12~cm}. \text{N} est le point d'intersection des droites \text{(AM)} et \text{(BC)}.

1. Tracez la figure en grandeur réelle.
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2. Calculez \text{MC} et \text{AM}.
 3. Calculez \text{CN} puis \text{BN}.
 4. Déduisez-en \text{AN} puis \text{MN}.
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Les droites sont-elles parallèles ?
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11
\text{DFG} est un triangle tel que \bold{DF = 7,5~cm} et \bold{DG = 5,5~cm}.

Graphique d'un triangle
E est un point de \text{[DF]} tel que \text{DE = 3,5~cm} et \text{H} un point de \text{[DG]} tel que \text{DH = 2,5~cm}.

1. Les droites \text{(EH)} et \text{(FG)} sont-elles parallèles ?
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12
Les droites \bold{(JK)} et \bold{(IL)} sont-elles parallèles ?

Placeholder pour Schéma : deux droites sécantes coupant deux parallèles, angles et mesures indiqués.Schéma : deux droites sécantes coupant deux parallèles, angles et mesures indiqués.
1. Justifiez votre réponse.
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13
\textbf{AC = 10~cm}, \textbf{MC = 6~cm}, \textbf{NC = 5~cm} et \textbf{BC = 9~cm}.

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problèle.

Graphique d'un triangle
1. Le triangle\text{ MNC} est-il rectangle en \text{N} ? Justifez.
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14
Triangle \textbf{ABC}.

1. Tracez un triangle \text{ABC} tel que \text{ AC = 7,5~cm}, \text{AB = 6~cm} et \text{BC = 10~cm}.Placez \text{E} sur \text{[AC]} tel que \text{CE = 3~cm} et \text{F} sur \text{[BC]} tel que \text{CF = 4~cm}.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2. Les droites \text{(AB)} et \text{(EF)} sont-elles parallèles ?
 3. On trace la droite parallèle à \text{(AB)} passant par \text{C}. Cette droite coupe \text{(BE)} en \text{L}. Déterminez \text{CL}.
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15
Tracez une figure telle que les points \text{A, C, F} et \text{B, C, G} soient alignés dans cet ordre.

✔ Je modélise une situation à l'aide d'un schéma, d'un tableau ou d'un arbre.

Les droites \text{(AB)} et \text{(GF)} sont parallèles. \text{AB = 3 cm}, \text{FC = 8,4 cm} et \text{FG = 11,2 cm}.

1. Calculez la longueur \text{CA}.
2. \text{D} est le point du segment \text{[CF]} et E le point du segment \text{[GF]} tels que \text{FD = 6,3~cm} et \text{FE = 8,4~cm}.
Montrez que les droites \text{(GC)} et \text{(ED)} sont parallèles.
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Agrandissements et réductions
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16
Rectangle \textbf{ABCD}.

\text{ABCD} est un rectangle dʼaire \text{12~cm}^{ 2}.

1. Tracez une représentation de \text{ABCD}.
 2. Tracez un agrandissement de rapport \text{1,5} de \text{ABCD}.

 3. Quelle est son aire ?
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17
Savoir refaire
\textbf{ABC} est un triangle isocèle en \textbf{B} avec \textbf{AB = BC = 6 cm}.

✔ Je représente des objets et des figures géométriques

\text{ H} est le pied de la hauteur issue de \text{A} et relative au côté \text{[BC]} et \text{AH = 4~cm}.

1. Faites une figure.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2. Calculez lʼaire du triangle \text{ABC}.
 3. Soit \text{A'B'C'} est un agrandissement de rapport \text{3} de \text{ABC}. Quelles sont les dimensions connues de \text{A'B'C'} ? Quelle est son aire ?
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18
Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2002).

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème.

Les deux cônes de révolution de rayons KA et IB sont opposés par le sommet. Les droites (AB) et (KI) se coupent en S et, de plus, (BI) et (KA) sont parallèles. On donne KA = 4,5 cm, KS = 6 cm et SI = 4 cm.

Graphique de deux cônes de révolution
1. Calculez \text{BI}.
 2. Calculez le volume V_1 du cône 1. (Donnez la valeur exacte puis la valeur arrondie au cm^{3}.)
 3. Le cône 2 est une réduction du cône 1. Quel est le coefficient de réduction ?
 4. Déduisez-en le volume V_2 du cône 2.
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19
\textbf{[AB]} est un segment tel que \textbf{AB = 5~cm}.

1. Tracez un segment \text{[EF]}, la réduction de \text{[AB]} de rapport \text{0,7}.
 2. Tracez un segment \text{[IJ]}, lʼagrandissement de \text{[AB]} de rapport \text{1,5}.
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20
On considère la figure suivante.

Figure d'un triangle
1. Démontrez que les droites \text{(EA)} et \text{(FM)} sont parallèles.
 2. On appelle r le rapport dʼagrandissement qui transforme le triangle \text{PAE} en triangle \text{PMF} et m le rapport de réduction qui transforme le triangle \text{PMF} en triangle \text{PAE}. Calculez r et m.
3. Calculez \text{EA} et \text{FM}.
 4. Exprimez l'aire du triangle \text{PMF} en fonction de celle du triangle \text{PAE} puis calculez-les.
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Parcours de compétences

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Énoncé

✔ Jʼémets une hypothèse.

Yasmine a un câble électrique dont elle ne connait pas la longueur et 5 boules lumineuses qu'elle souhaiterait répartir de manière régulière sur sa guirlande. Mattéo lui assure qu'il peut utiliser le théorème de Thalès pour l'aider. Il lui apporte un mètre ruban d'un mètre de longueur et deux équerres. Il les positionne ainsi :

Figure d'un triangle
Comment fonctionne la technique que propose Mattéo à sa cousine ?
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Niveau 1

Je sais ce qu'est une hypothèse et quel est son rôle dans une démarche mathématique.

Coup de pouce
Cherchez dans le dictionnaire la définition du terme hypothèse et regardez dans les problèmes résolus comment elles sont utilisées.
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Niveau 2

Je comprends l'hypothèse qui m'est proposée.

Coup de pouce
Utilisez le mètre ruban de Mattéo dont on connait la longueur et découpez-le en autant de morceaux que nécessaires.
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Niveau 3

Je propose une hypothèse.

Coup de pouce
Pourquoi a-t-on besoin des équerres de Mattéo à votre avis ?
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Niveau 4

Je construis une hypothèse et je propose une solution pertinente pour la valider.

Coup de pouce
Formulez votre hypothèse et expliquez comment vous pouvez la tester.

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