Une autoroute va être tracée et passera entre deux villes. Les maires de chaque ville, très jaloux, refusent quʼaucune portion de lʼautoroute soit plus proche de lʼautre ville que de la leur.

1. Comment faire pour tracer cette route ?

2. Une station essence va être créée sur cette autoroute. Que peut-on dire du triangle formé par les deux villes et par la station essence ?

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35
Arbres.

Un jardinier un peu excentrique veut planter trois arbres : un peuplier, un chêne et un noisetier.
Mais il a des exigences :

Le noisetier doit se situer à 5,6 m du chêne.
Le peuplier doit se trouver à 12,3 m du noisetier.
Le peuplier et le chêne doivent être distants de 6,4 m.

1. Le jardinier pourra-t-il mettre en pratique son plan ?

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36
ABCD est un carré avec ses diagonales.

carré ABCD où ses diagonales se coupent en E

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1. À lʼaide des propriétés dʼun carré, démontrez que les triangles ABC et ABE sont des triangles rectangles isocèles et déterminez la mesure de tous leurs angles.

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37
Sudoku.

Julien adore jouer au Sudoku. Laura lui propose alors de remplir une grille un peu particulière. Trouvez la valeur de chaque lettre à l'aide des informations ci-dessous et complétez cette grille.

A	B			C
		C	D		A	E	B	F
D		E	F	G			H	C
H	A	G			E	D
	D	I	G				F	A
				A	D	I	G
I		A			G		E
			B	E			A	H
B	E	H	A	D			I	G

1. A : la mesure dʼun angle plat divisée par 36.

2. B : le dixième dʼun angle du triangle équilatéral.

3. C : la somme des angles dans un triangle divisée par la valeur de lʼangle droit.

4. D : la mesure de lʼangle au sommet dans un triangle isocèle dont lʼun des angles à la base vaut 86,5^{\circ}.

5. E : la précision du rapporteur.

6. F : le quart de la valeur de lʼangle \widehat{\text{AOB}} de la figure suivante.

Triangle ABO rectangle en B où l'angle BAO = 58°

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7. G : le nombre de côtés dans un triangle.

8. H : la mesure de lʼangle repéré par « ? ».

Triangle où deux angles font respectivement 87° et 89°. Le troisième angle est marqué d'un ?

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9. I : le dixième de lʼangle droit.

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38
Le triangle de Charlotte.

Illustration de Charlotte concentrée utilisant un compas

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Charlotte souhaite construire un triangle CHA tel que CH = 16,3 cm et CA = 5,3 cm. Elle commence par tracer [CH] à la règle, puis elle dessine un cercle de centre C et de rayon 5,3 cm.

1. Expliquez sa construction.

2. Elle place ensuite la pointe du compas au niveau du point H. Quel écartement minimal doit-elle alors prendre pour que le triangle existe ?

3. Si elle avait commencé la construction en traçant le segment [CA], quel aurait été lʼécartement minimal pour tracer le cercle de centre A ?

4. Quel théorème vu en cours permet dʼexpliquer ces résultats ?

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39
Construction d'un triangle.

1. Construisez le triangle ABC tel que :

AB = 5 cm ;

\widehat{\text{ABC}} est égal au double de \widehat{\text{CAB}} ;

\widehat{\text{BCA}} est égal au triple de \widehat{\text{ABC}}.

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40
Angles manquants.

Triangle MOQ où l'angle MOQ = 53°. Le point P se trouve sur OQ, le point A et le point B sur MQ et le point N sur MO. Le triangle BPQ à l'angle PBQ = 41°. Le triangle MNA à l'angle MAN = 84° et l'angle MNA = 43°.

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1. Calculez la mesure des angles manquants du pentagone ABPON.

On précise que :

M, N, O sont alignés ;
O, P, Q sont alignés ;
M, A, B, Q sont alignés.

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41
Calcul d'angle.

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1. Calculez lʼangle \widehat{\text{CDF}}.

On précise que :

A, B, C, D sont alignés ;
E, C, F sont alignés.

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42
Un peu de géographie.

Alberton, Bulterton, Chersterton et Dillburton sont quatre villes situées selon une configuration particulière.

Alberton est aussi éloignée de Bulterton que de Dillburton.
La distance entre Bulterton et Chersterton est la même quʼentre Chersterton et Dillburton.
Alberton est plus éloignée de Chersterton que de Bulterton.

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1. Représentez la situation en remplaçant les noms des villes par leur première lettre.

2. Pour relier ces villes mais ne pas trop dépenser dʼargent, les quatre maires décident de ne construire que deux routes qui se croisent, lʼune allant dʼAlberton à Chersterton et une autre allant de Bulterton à Dillburton. À leur grande surprise, les routes se croisent perpendiculairement. Pourquoi nʼest-ce pas si surprenant ? Justifiez.

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43
Triangle et cercles.

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On considère un segment [AB]. On trace deux cercles non confondus de rayon [AB]. D est un point dʼintersection des deux cercles.

1. ABD est-il un triangle particulier ? Justifiez.

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44
Savoir refaire
Triangle et alignement.

1. Construisez quatre triangles isocèles AGH, BGH, CGH et DGH, de même base [GH]. Montrez que A, B, C et D sont alignés.

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45
Tracez un triangle équilatéral.

Tracez un triangle équilatéral.
1. Tracez les médiatrices de ce triangle. 2. Tracez maintenant les hauteurs de ce triangle. Que remarquez-vous ?

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3. Démontrez que ce que vous avez remarqué est vrai pour tout triangle équilatéral.

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46
Figure.

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1. Les points A, B et C sont-ils alignés ?

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47
Somme des angles d'un quadrilatère.

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1. Calculez la somme des angles du quadrilatère ABCD suivant, en le découpant judicieusement.

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48
La rosace de Coralie.

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Coralie dessine une rosace. Elle sʼamuse à nommer le centre du cercle dʼorigine et les points dʼintersection entre les cercles.
Elle sʼaperçoit alors que ces points peuvent former de nombreux triangles.

1. Trouvez deux triangles égaux. Justifiez.

2. Trouvez deux triangles semblables mais non égaux. Justifiez.

3. Avez-vous trouvé les mêmes que vos camarades ?

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49
Hauteur de l'immeuble.

Fatima a décidé de calculer la hauteur de son immeuble. Elle se munit dʼun bâton ainsi que dʼun mètre à ruban et sort. Le soleil est bas et une ombre se forme au sol. Fatima mesure lʼombre de l'immeuble : 15 m. Ensuite, elle mesure son bâton et lʼombre projetée par celui-ci lorsquʼil est tenu verticalement. Son bâton mesure 2 m et son ombre 3 m. Satisfaite, Fatima rentre chez elle calculer la hauteur de son immeuble.
Comme le Soleil nʼavait pas eu le temps de baisser dans le ciel, Fatima sait que sur son croquis suivant les angles \widehat{\text{BCA}} et \widehat{\text{B'C'A'}} sont égaux.

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1. Comment peut-elle procéder pour calculer la hauteur de son immeuble ?

2. Combien mesure l'immeuble ?

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50
Droites parallèles et triangles semblables.

Triangle ABC où la droite DE coupe AC au point D et BC au point E

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(AB) et (DE) sont parallèles.
1. Démontrez que les triangles ABC et CDE sont semblables.

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51
Hauteur et triangles semblables.

Triangle CBD rectangle en A où le segment AB coupe CD en A et forme le triangle ABD rectangle en A

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1. Démontrez que BCD et ABD sont semblables.

2. On trace la hauteur du triangle ABD passant par A. Le point dʼintersection de cette hauteur et du segment [BD] est appelé E. Montrez que BCD et AED sont semblables.

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52
Triangles égaux.

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1. Prouvez que les mesures EF et DG sont égales sachant que ABC est isocèle en A.

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53
Des jardins bien semblables.

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Mourad habite dans un pavillon. Sa maison rectangulaire a deux petits jardins en forme de triangles semblables. Il fait un petit croquis ci-dessous et mesure que, de B à F, il y a 16 m, de C à D, il y a 3 m et de D à E, il y a 4 m. Il sait aussi que l'angle \widehat{\text{EBF}} mesure environ 37^{\circ}.

1. Complétez-le avec le plus de données possibles.

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Tâche complexe
Chasse au trésor.

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Énoncé

Théo, Adeline et Youssef sont partis à la recherche dʼun trésor. Ils ont une carte, et cette instruction donnée par un pirate :« Le trésor se trouve à équidistance de trois arbres. » Ils finissent par trouver les trois arbres dont parle le pirate, mais ne savent pas comment trouver le trésor à partir de ces informations. Ils ont tout de même des outils pour mesurer les distances sur le terrain et calculer les angles qui séparent deux points.

1. Déterminez une méthode qui permettrait de trouver le trésor !

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Doc. 1
La carte au trésor avec les trois arbres.

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Doc. 2
Cercle circonscrit.

Un cercle circonscrit à un triangle est un cercle qui passe par tous les sommets d'un triangle. Pour construire un cercle circonscrit à un triangle, il faut :

Tracer les trois médiatrices d'un triangle.
Tracer un cercle dont le centre est le point d'intersection des médiatrices et qui passe par tous les sommets du triangle.

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Doc. 3
Un triangle et son cercle circonscrit.

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Je résous des problèmes

34Jalousies.

35Arbres.

36ABCD est un carré avec ses diagonales.

37Sudoku.

38Le triangle de Charlotte.

39Construction d'un triangle.

GeoGebra

40Angles manquants.

41Calcul d'angle.

42Un peu de géographie.

GeoGebra

43Triangle et cercles.

44Savoir refaireTriangle et alignement.

GeoGebra

45Tracez un triangle équilatéral.

GeoGebra

46Figure.

47Somme des angles d'un quadrilatère.

48La rosace de Coralie.

49Hauteur de l'immeuble.

50Droites parallèles et triangles semblables.

51Hauteur et triangles semblables.

52Triangles égaux.

53Des jardins bien semblables.

Tâche complexeChasse au trésor.

Énoncé

Doc. 1La carte au trésor avec les trois arbres.

Doc. 2Cercle circonscrit.

Doc. 3Un triangle et son cercle circonscrit.

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34
Jalousies.

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Arbres.

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Le triangle de Charlotte.

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Triangle et alignement.

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Chasse au trésor.

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La carte au trésor avec les trois arbres.

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Cercle circonscrit.

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Un triangle et son cercle circonscrit.