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Chapitre 13
Problèmes résolus
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32Triangles équilatéraux et semblables.
✔ Je reconnais une situation de proportionnalité
✔ Je représente des objets et des figures géométriques
ABC est un triangle équilatéral. D est le milieu du segment [AB].
Démontrez que ADC et CDB sont semblables.
✔ Je représente des objets et des figures géométriques
ABC est un triangle équilatéral. D est le milieu du segment [AB].
Démontrez que ADC et CDB sont semblables.
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Méthode 1
Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il est possible de montrer que les angles de ces triangles ont les mêmes mesures.
Corrigé 1
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- ABC est équilatéral, donc tous ses angles mesurent 60^{\circ}. Donc C est équidistant de A et B. De plus, D est le milieu du segment [AB], il est donc lui aussi équidistant de A et B. Donc C et D appartiennent à la médiatrice de [AB].
- Or la médiatrice est perpendiculaire à [AB], donc les triangles ADC et CDB sont rectangles en D. Ces deux triangles ont donc un angle droit et un angle qui mesure 60^{\circ} (\widehat{\text{CAD}} pour le triangle CDA et \widehat{\text{CBD}} pour le triangle CDB).
- Donc pour ces deux triangles, le troisième angle mesure 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}. Les triangles CDB et ADC ont donc tous deux des angles valant 90^{\circ}, 60^{\circ} et 30^{\circ}, ils sont donc semblables.
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Méthode 2
Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il est possible de montrer que la longueur des côtés de lʼun est proportionnelle à celle des côtés de lʼautre.
Corrigé 2
ABC est équilatéral et D est le milieu de [AB]. Donc AC = BC et AD = BD. Les deux triangles CDB et ADC ont un côté en commun : [DC].
Les deux triangles ont des côtés de longueurs égales deux à deux, ils sont donc égaux. Et puisque des triangles égaux sont aussi semblables, CDB et ADC sont des triangles semblables.
Les deux triangles ont des côtés de longueurs égales deux à deux, ils sont donc égaux. Et puisque des triangles égaux sont aussi semblables, CDB et ADC sont des triangles semblables.
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33Problème similaireSymétrie centrale et triangles semblables.
✔ Je choisis un cadre adapté (numérique, algébrique ou géométrique) pour traiter un problème
ABC est un triangle rectangle isocèle en A. D est le symétrique de B par rapport à A.
Montrez que ACD et ABC sont semblables.
ABC est un triangle rectangle isocèle en A. D est le symétrique de B par rapport à A.
Montrez que ACD et ABC sont semblables.
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