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p. 1-12
Thème 1 : Nombres et calculs
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
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Dossier d'actualité
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Chapitre 13
J'apprends

Triangles

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A
Propriétés sur les triangles

Je découvre
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1
Les inégalités triangulaires

Propriété
Dans un triangle ABC, la longueur dʼun côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés :
  • \text{AB} \leq \text{AC} + \text{BC}
  • \text{AC} \leq \text{AB} + \text{BC}
  • \text{BC} \leq \text{AB} + \text{AC}
Exercices n° 
1 à 16
 p. 291-293.
Remarque : Si dans le triangle ABC lʼégalité \text{AB} = \text{AC} + \text{BC} est vérifiée, alors C appartient au segment [AB]. Le triangle est plat.

J'applique

Consigne :
Voici des mesures de segments. Lesquels de ces derniers peuvent servir à construire un triangle ?
a. AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm.
b. AB = 8 cm, AC = 3,7 cm, BC = 3,9 cm.
c. AB = 5 cm, AC = 2,2 cm, BC = 3 cm.

Correction :
Les triplés de segments a. et c. peuvent servir à construire un triangle. Dans le triplé de segments b., un des segments est plus long que la somme des deux autres, ce triplé ne peut donc pas servir à construire un triangle.
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2
Les angles d'un triangle

Rappels
  • Un triangle équilatéral ABC a trois angles de même mesure :  {\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{ACB}}}.
    Illustration du triangle ABC.
  • Un triangle isocèle en A a deux angles de même mesure : {\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}}.
    Illustration du triangle ABC.
     
Exercices n° 
8 à 16
 p. 292-293.
Propriété
La somme des angles dʼun triangle est égale à 180°.
Illustration du triangle ABC.
Exercices n° 
1 à 16
 p. 291-293.

J'applique

Consigne :
ABC est un triangle. On connait les mesures de deux de ses angles : {\widehat{\text{ACB}} = 80^{\circ}} et {\widehat{\text{ABC}} = 60^{\circ}}.
Combien mesure le troisième angle ?

Correction :
180 - 80 - 60 = 40
L'angle \widehat{\text{BAC}} mesure 40°.
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B
Droites remarquables d'un triangle

Je découvre
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1
Médiatrices d'un triangle

 
Définition
  • La médiatrice dʼun segment [AB] est la droite qui le coupe perpendiculairement en son milieu. Cʼest aussi lʼensemble des points équidistants de A et de B. 
  • Les médiatrices dʼun triangle ABC sont les médiatrices de ses côtés et se coupent en un point O équidistant des 3 sommets du triangle. 
On a donc OA = OB = OC.
Illustration du triangle ABC avec ses médiatrices.
Exercices n° 
17 à 23
 p. 293-294.
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2
La hauteur

Définition
Dans un triangle ABC, la hauteur relative au côté [BC] est la droite perpendiculaire à la droite (BC) passant par A. On dit aussi que cʼest la hauteur issue de A.
Illustration du triangle ABC et de la hauteur relative de ses côtés.
Exercices n° 
17 à 23
 p. 293-294.
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C
Triangles égaux et semblables

Je perfectionne
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1
Triangles égaux

Définition
Deux triangles sont égaux si leurs côtés sont respectivement de même longueur. Quitte à les retourner, déplacer ou tourner, on peut alors les superposer.

Exercices n° 
27 à 29
 p. 294-295.
Attention
Des triangles égaux ont toujours des angles de même mesure, mais des triangles qui ont des angles de même mesure ne sont pas forcément égaux.

  

J'applique

Consigne :
Parmi les triangles suivants, lesquels sont égaux ?
Figure représentant plusieurs triangles collés les uns aux autres.
Correction :
Les triangles A, D et E ont des côtés de mêmes longueur ; ils sont donc égaux.

 
Propriétés
  • Si deux triangles ont un côté de même longueur encadré par deux angles de même mesure, alors ils sont égaux. 
  • Si deux triangles ont un angle de même mesure encadré par deux côtés de même longueur, alors ils sont égaux.
Exercices n° 
27 à 29
 p. 294-295.

Exemple :
Triangles ABC et FED ayant un côté de même longueur encadré par deux angles de même mesure.
AC = DE
\widehat{\text{BAC}} =\widehat{\text{FDE}}
\widehat{\text{BCA}} =\widehat{\text{FED}} 
Donc ABC et FED sont égaux. On a alors FE = BC et BA = FD.

Exemple :
Triangles GHI et JKL ayant un angle de même mesure encadré par deux côtés de même longueur.
\widehat{\text{IGH}}=\widehat{\text{JKL}}
IG = JK
GH = KL
Donc GHI et JKL sont égaux. On a alors IH = LJ.
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2
Triangles semblables

Définition
Deux triangles sont semblables si les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.

Exercices n° 
24 à 29
 p. 294-295.

Exemple :
Dans le triangle ABC, AB = 2, BC = 4, AC = 3. A'B'C' est un triangle semblable à ABC et A'B' = 6. On détermine les longueurs du triangle ABC à lʼaide dʼun tableau de proportionnalité.
Tableau de proportionnalité.
Remarque : Lʼimage dʼun triangle ABC par une homothétie, par un agrandissement ou par une réduction est un triangle semblable à ABC.
Propriétés
  • Deux triangles semblables ont des angles de même mesure. 
  • Si deux triangles ont des angles de même mesure, alors ils sont semblables.
Exercices n° 
24 à 29
 p. 294-295.

Exemple :
ABC et A'B'C' sont semblables, alors \dfrac{\text{AB}}{\text{B}'\text{C}'}=\dfrac{\text{BC}}{\text{A}'\text{B}'}=\dfrac{\text{AC}}{\text{A}'\text{C}'}
Triangles ABC et A'B'C' ayant des angles de même mesure.
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