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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 8
Activité C
Équations trigonométriques
Capacités : Résoudre les équations de la forme \sin (x) = a et \sin (\omega t + \varphi) = a sur l'intervalle ]-\pi \: ; \pi].
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Énoncé
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Pour sécuriser une installation, un technicien aimerait identifier pour quelles valeurs de t, en seconde, les tensions u_1, u_2 et u_3 sont nulles.
On donne {u_{1}(t)=3 \sin (t)}, {u_{2}(t)=-1+2 \sin (t)} et {u_{3}(t)=2 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} t+\frac{\pi}{6}\right)}.
On donne {u_{1}(t)=3 \sin (t)}, {u_{2}(t)=-1+2 \sin (t)} et {u_{3}(t)=2 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} t+\frac{\pi}{6}\right)}.
Problématique
Sur l'intervalle \bm{]-\pi \: ; \pi]}, pour quelles valeurs de \bm{t} les tensions sont-elles nulles ?
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Questions
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1
a.
Réaliser
Tracer la fonction u_1 ainsi que la droite d'équation y = 0.
b. Analyser/raisonner Sur ]-\infty \: ;+\infty[, combien y a-t-il de points d'intersection entre la courbe représentative de u_1 et la droite d'équation y = 0 ?
GeoGebra
b. Analyser/raisonner Sur ]-\infty \: ;+\infty[, combien y a-t-il de points d'intersection entre la courbe représentative de u_1 et la droite d'équation y = 0 ?
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2
a.
Analyser/raisonner
Sur l'intervalle ]-\pi \: ;+\pi], combien y a-t-il de solutions à l'équation u_{1}(t)=0 ?
b. Analyser/raisonner Quels sont les angles en radian sur l'intervalle ]-\pi \: ;+\pi] dont le sinus est nul ? On pourra s'aider du cercle trigonométrique.
c. Analyser/raisonner Résoudre l'équation 3 \sin (t)=0 sur l'intervalle ]-\pi \: ;+\pi].
b. Analyser/raisonner Quels sont les angles en radian sur l'intervalle ]-\pi \: ;+\pi] dont le sinus est nul ? On pourra s'aider du cercle trigonométrique.
c. Analyser/raisonner Résoudre l'équation 3 \sin (t)=0 sur l'intervalle ]-\pi \: ;+\pi].
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3Réaliser
Tracer la fonction u_2.
GeoGebra
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4
a.
Communiquer, analyser/raisonner
Montrer que résoudre l'équation u_{2}(t)=0 revient à résoudre l'équation \sin (t)=\frac{1}{2}.
b. Analyser/raisonner À l'aide du cercle trigonométrique, déterminer le nombre de solutions de l'équation \sin (t)=\frac{1}{2} sur ]-\pi \: ; \pi].
c. Réaliser Résoudre l'équation -1+2 \sin (t)=0 sur ]-\pi \: ; \pi].
b. Analyser/raisonner À l'aide du cercle trigonométrique, déterminer le nombre de solutions de l'équation \sin (t)=\frac{1}{2} sur ]-\pi \: ; \pi].
c. Réaliser Résoudre l'équation -1+2 \sin (t)=0 sur ]-\pi \: ; \pi].
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5
On souhaite résoudre l'équation 2 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} t+\frac{\pi}{6}\right)=0 sur l'intervalle ]-\frac{3}{2} \: ; \frac{3}{2}].
Voici les premières étapes :
a. Analyser/raisonner Expliquer, en s'aidant du cercle trigonométrique, l'étape 3.
b. Communiquer Donner les solutions de cette équation sur l'intervalle {]-\frac{3}{2} \: ; \frac{3}{2}]}.
Voici les premières étapes :
- étape 0 : {2 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} t+\frac{\pi}{6}\right)=0}
- étape 1 : {\sin \left(\frac{2 \pi}{3} t+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{0}{2}}
- étape 2 : {\sin \left(\frac{2 \pi}{3} t+\frac{\pi}{6}\right)=0}
- étape 3 : {\frac{2 \pi}{3} t+\frac{\pi}{6}=0} ou {\frac{2 \pi}{3} t+\frac{\pi}{6}=\pi}
a. Analyser/raisonner Expliquer, en s'aidant du cercle trigonométrique, l'étape 3.
b. Communiquer Donner les solutions de cette équation sur l'intervalle {]-\frac{3}{2} \: ; \frac{3}{2}]}.
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Pour résoudre l'équation \sin (x)=a sur l'intervalle ]-\pi \: ; \pi] :
- si a \gt 1 ou si a \lt -1, l'équation n'a pas de solution car -1 \leqslant \sin (x) \leqslant 1 ;
- si -1 \leqslant a \leqslant 1, alors :
- soit on lit la solution \theta dans la table des valeurs remarquables et on a x=\theta ou x=\pi-\theta ;
- soit on calcule la solution à l'aide d'une calculatrice et on x=\sin ^{-1}(a) ou x=\pi-\sin ^{-1}(a).
Pour s᾽entraîner :
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah