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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 8
Exercices
Trigonométrie
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Fonctions du type \bm{f(t) = a \sin (\omega t + \varphi)}
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Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, choisir laquelle des deux courbes représentatives proposées correspond à la fonction donnée. Justifier.
1. f(t)=2 \sin \left(5 t+\frac{\pi}{2}\right)
2. g(t)=\frac{1}{2} \sin \left(5 t+\frac{\pi}{3}\right)
1. f(t)=2 \sin \left(5 t+\frac{\pi}{2}\right)
2. g(t)=\frac{1}{2} \sin \left(5 t+\frac{\pi}{3}\right)
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Exercice 2
Parmi les fonctions ci‑dessous, lesquelles ont :
1. la même valeur maximale ?
2. la même pulsation ?
3. la même phase à l'origine ?
a. f(t)=\sin (2 t+\pi)
b. g(t)=5 \sin \left(5 t+\frac{\pi}{3}\right)
c. h(t)=5 \sin \left(0,25 t+\frac{\pi}{6}\right)
d. k(t)=6 \sin \left(2 t+\frac{\pi}{6}\right)
e. u(t)=5 \sin \left(2 t+\frac{\pi}{3}\right)
f. v(t)=\sin \left(4 t+\frac{\pi}{2}\right)
1. la même valeur maximale ?
2. la même pulsation ?
3. la même phase à l'origine ?
a. f(t)=\sin (2 t+\pi)
b. g(t)=5 \sin \left(5 t+\frac{\pi}{3}\right)
c. h(t)=5 \sin \left(0,25 t+\frac{\pi}{6}\right)
d. k(t)=6 \sin \left(2 t+\frac{\pi}{6}\right)
e. u(t)=5 \sin \left(2 t+\frac{\pi}{3}\right)
f. v(t)=\sin \left(4 t+\frac{\pi}{2}\right)
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Exercice 3
On a représenté ci‑dessous un signal sinusoïdal représentant la fonction f définie par f(t)=\mathrm{A} \sin (\omega t+\varphi) où t représente le temps en seconde.
1. Déterminer graphiquement la valeur maximale \text{A} du signal. Déterminer graphiquement la période \text{T} en seconde.
2. En déduire la pulsation \omega=\frac{2 \pi}{\mathrm{T}} en rad/s.
3. Déterminer l'ordonnée exacte du point d'abscisse t = 0 appartenant à la courbe.
4. En déduire une valeur de la phase à l'origine \varphi.
5. Écrire une expression algébrique possible de la fonction f.
1. Déterminer graphiquement la valeur maximale \text{A} du signal. Déterminer graphiquement la période \text{T} en seconde.
GeoGebra
2. En déduire la pulsation \omega=\frac{2 \pi}{\mathrm{T}} en rad/s.
3. Déterminer l'ordonnée exacte du point d'abscisse t = 0 appartenant à la courbe.
4. En déduire une valeur de la phase à l'origine \varphi.
5. Écrire une expression algébrique possible de la fonction f.
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Vecteurs de Fresnel
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Exercice 4
Dans un repère, représenter le vecteur de Fresnel de u_{1}(t)=5 \sin \left(2 t+\frac{\pi}{4}\right), de u_{2}(t)=6 \sin \left(2 t+\frac{\pi}{6}\right) puis celui de la grandeur u_3 telle que u_{3}(t)=u_{1}(t)+u_{2}(t).
GeoGebra
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Exercice 5
Les figures 1 à 6 représentent des vecteurs de Fresnel associés à des grandeurs sinusoïdales. Pour chacune d'elles, donner la valeur de la phase à l᾽origine \varphi en radian. L'axe de référence est l'axe horizontal orienté.
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Exercice 6
Le vecteur de Fresnel d'une grandeur sinusoïdale i de pulsation \omega=341 rad.s-1 est représenté ci-dessous.
Déterminer l'expression algébrique i(t) à laquelle il est associé.
Déterminer l'expression algébrique i(t) à laquelle il est associé.
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Exercice 7
Dans un repère, représenter le vecteur de Fresnel associé à la fonction sinusoïdale f définie par {f(t)=3 \sin \left(\omega t+\frac{\pi}{3}\right)}.
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Exercice 8
On considère les vecteurs de Fresnel associés à deux grandeurs sinusoïdales u_1 et u_2.
Après avoir reproduit le repère ci‑dessus, tracer le vecteur de Fresnel de la grandeur u_3 telle que {u_{3}(t)=u_{1}(t)+u_{2}(t)}.
Après avoir reproduit le repère ci‑dessus, tracer le vecteur de Fresnel de la grandeur u_3 telle que {u_{3}(t)=u_{1}(t)+u_{2}(t)}.
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Équations trigonométriques
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Exercice 9
Résoudre sur ]-\pi \: ; \pi] les équations suivantes.
1. \sin (x)=\frac{1}{2}
2. \cos (x)=\frac{\sqrt{2}}{2}
3. \sin (x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}
4. 2 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1
5. 2 \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=-\sqrt{3}
1. \sin (x)=\frac{1}{2}
2. \cos (x)=\frac{\sqrt{2}}{2}
3. \sin (x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}
4. 2 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1
5. 2 \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=-\sqrt{3}
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Exercice 10
Résoudre les équations suivantes.
1. 2 \cos (2 x)=1 sur \left] - \frac{\pi}{2} \: ; \frac{\pi}{2}\right].
2. 2 \cos (2 x)=-\sqrt{2} sur \left] - \frac{\pi}{2} \: ; \frac{\pi}{2}\right].
3. 2 \sin (3 x)=\sqrt{3} sur \left] - \frac{\pi}{3} \: ; \frac{\pi}{3}\right].
4. 2 \sin (2 x - \frac{\pi}{3})=\sqrt{3} sur \left] - \frac{\pi}{2} \: ; \frac{\pi}{2}\right].
5. 20 \sin (100 \pi x + \frac{\pi}{2})=10 sur \left] -0,01 \: ; 0,01\right].
1. 2 \cos (2 x)=1 sur \left] - \frac{\pi}{2} \: ; \frac{\pi}{2}\right].
2. 2 \cos (2 x)=-\sqrt{2} sur \left] - \frac{\pi}{2} \: ; \frac{\pi}{2}\right].
3. 2 \sin (3 x)=\sqrt{3} sur \left] - \frac{\pi}{3} \: ; \frac{\pi}{3}\right].
4. 2 \sin (2 x - \frac{\pi}{3})=\sqrt{3} sur \left] - \frac{\pi}{2} \: ; \frac{\pi}{2}\right].
5. 20 \sin (100 \pi x + \frac{\pi}{2})=10 sur \left] -0,01 \: ; 0,01\right].
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Bilan
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Exercice 11
Outil numérique
Représenter les deux fonctions u et i définies par {u(t)=6 \sin \left(\frac{\pi}{2} t-\frac{\pi}{3}\right)} et {i(t)=2 \sin \left(\frac{\pi}{2} t-\frac{\pi}{4}\right)} ainsi que leurs vecteurs de Fresnel associés.
Que peut-on conclure sur leur déphasage ?
GeoGebra
Que peut-on conclure sur leur déphasage ?
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Exercice 12
Outil numérique
On considère les trois intensités suivantes.
1. Représenter le vecteur de Fresnel de chacune de ces intensités.
2. En déduire l'écriture algébrique de i(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)+i_{3}(t).
2. Vérifier ce résultat en traçant ci-dessus i(t) et i_{1}(t)+i_{2}(t)+i_{3}(t).
- i_{1}(t)=2 \sin (\pi t)
- i_{2}(t)=2,5 \sin \left(\pi t+\frac{\pi}{4}\right)
- i_{3}(t)=3 \sin \left(\pi t-\frac{\pi}{3}\right)
1. Représenter le vecteur de Fresnel de chacune de ces intensités.
GeoGebra
2. En déduire l'écriture algébrique de i(t)=i_{1}(t)+i_{2}(t)+i_{3}(t).
2. Vérifier ce résultat en traçant ci-dessus i(t) et i_{1}(t)+i_{2}(t)+i_{3}(t).
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Exercice 13
Une distribution triphasée est composée de trois tensions simples de même fréquence, de même amplitude et déphasées.
- u_{1}(t)=230 \sin (100 \pi t)
- u_{2}(t)=230 \sin \left(100 \pi t+\frac{2 \pi}{3}\right)
- u_{3}(t)=230 \sin \left(100 \pi t-\frac{2 \pi}{3}\right)
1. Associer à chaque courbe la tension correspondante.
2. Tracer les vecteurs de Fresnel de ces trois tensions dans un même repère.
GeoGebra
3. Quelle est la somme de ces trois tensions ?
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Exercice 14
On a représenté ci‑dessous le schéma électrique d'une maille.
On considère que {u_{1}(t)=6 \sin \left(314 t+\frac{\pi}{3}\right)}, {u_{2}(t)=8 \sin \left(314 t-\frac{\pi}{6}\right)} et {u_{3}(t)=10 \sin \left(314 t+\frac{3 \pi}{4}\right)}.
Déterminer la tension u_4(t) par la méthode des vecteurs de Fresnel.
On considère que {u_{1}(t)=6 \sin \left(314 t+\frac{\pi}{3}\right)}, {u_{2}(t)=8 \sin \left(314 t-\frac{\pi}{6}\right)} et {u_{3}(t)=10 \sin \left(314 t+\frac{3 \pi}{4}\right)}.
Déterminer la tension u_4(t) par la méthode des vecteurs de Fresnel.
Aide
D᾽après la loi des mailles, on a ici {u_{4}(t)=u_{1}(t)-u_{2}(t)+u_{3}(t)}.
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Exercice 15
Résoudre les équations suivantes en donnant, lorsque c'est possible, les solutions exactes et les solutions numériques approchées à 0,1 près en radian.
1. \sin (x)=\frac{\sqrt{3}}{2} sur ]-\pi \: ; \pi].
2. \cos (x)=\frac{1}{2} sur ]-\pi \: ; \pi].
3. 2\sin (x)=-1 sur ]-\pi \: ; \pi].
4. 2\cos (x)=\sqrt{3} sur ]-\pi \: ; \pi].
5. \sin (\pi x + \frac{2 \pi}{3})=1 sur [-1 \: ; 1].
6. 2 \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3} sur ]-\pi \: ; \pi].
1. \sin (x)=\frac{\sqrt{3}}{2} sur ]-\pi \: ; \pi].
2. \cos (x)=\frac{1}{2} sur ]-\pi \: ; \pi].
3. 2\sin (x)=-1 sur ]-\pi \: ; \pi].
4. 2\cos (x)=\sqrt{3} sur ]-\pi \: ; \pi].
5. \sin (\pi x + \frac{2 \pi}{3})=1 sur [-1 \: ; 1].
6. 2 \sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3} sur ]-\pi \: ; \pi].
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