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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 8
Applications directes
Trigonométrie
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1 Méthode
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Déterminer et tracer le vecteur de Fresnel d'une grandeur sinusoïdale.
| Grandeur sinusoïdale | Vecteur de Fresnel | Représentation graphique |
|---|---|---|
| u(t)=\mathrm{U} \sin (\omega t+\varphi) | \vec{u}(\mathrm{U} \: ; \varphi) |   |
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Résoudre une équation de type \bm{\cos(x)=a} et \bm{\sin(x)=a} sur \bm{]-\pi \: ; \pi]}.
1. Dans ce type d'équation, l'inconnue est x.
2. Vérifier que a appartient bien à [-1 \: ; 1] : si ce n'est pas le cas, l'équation n'admet aucune solution.
3. Si a appartient à [-1 \: ; 1], placer sur le cercle trigonométrique, suivant la situation, les points admettant un cosinus ou un sinus égal à a.
4. Si a est une valeur remarquable, déterminer les solutions grâce à un tableau de valeurs remarquables. Si a n'est pas une valeur remarquable, utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée de \cos ^{-1}(a) ou \sin ^{-1}(a).
2. Vérifier que a appartient bien à [-1 \: ; 1] : si ce n'est pas le cas, l'équation n'admet aucune solution.
3. Si a appartient à [-1 \: ; 1], placer sur le cercle trigonométrique, suivant la situation, les points admettant un cosinus ou un sinus égal à a.
4. Si a est une valeur remarquable, déterminer les solutions grâce à un tableau de valeurs remarquables. Si a n'est pas une valeur remarquable, utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée de \cos ^{-1}(a) ou \sin ^{-1}(a).
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Résoudre une équation de type \bm{\sin (\omega t+\varphi)=a}.
1. Dans ce type d'équation, l'inconnue est t.
2. Utiliser la méthode de résolution d'une équation de type \sin(x) = a pour déterminer les valeurs possibles de \omega t+\varphi. On obtient une ou plusieurs solutions x_i.
3. Résoudre chacune des équations \omega t+\varphi = x_i pour obtenir la ou les valeurs de t.
2. Utiliser la méthode de résolution d'une équation de type \sin(x) = a pour déterminer les valeurs possibles de \omega t+\varphi. On obtient une ou plusieurs solutions x_i.
3. Résoudre chacune des équations \omega t+\varphi = x_i pour obtenir la ou les valeurs de t.
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Additionner deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence en utilisant les vecteurs de Fresnel.
Pour déterminer une expression de u=u_{1}+u_{2}, où u_1 et u_2 sont deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence f, il faut :
1. tracer, dans un même repère, \overrightarrow{u_1} et \overrightarrow{u_2}, les vecteurs de Fresnel associés à u_1 et u_2 ;
2. tracer dans ce repère le vecteur \vec{u}=\overrightarrow{u_{1}}+\overrightarrow{u_{2}} ;
3. mesurer la norme \text{U} de \overrightarrow{u} et l'angle \varphi entre l'axe des abscisses et le vecteur \overrightarrow{u} ;
4. la grandeur u a pour expression u(t)=\mathrm{U}(\omega t+\varphi) où \omega=2 \pi f.
1. tracer, dans un même repère, \overrightarrow{u_1} et \overrightarrow{u_2}, les vecteurs de Fresnel associés à u_1 et u_2 ;
2. tracer dans ce repère le vecteur \vec{u}=\overrightarrow{u_{1}}+\overrightarrow{u_{2}} ;
3. mesurer la norme \text{U} de \overrightarrow{u} et l'angle \varphi entre l'axe des abscisses et le vecteur \overrightarrow{u} ;
4. la grandeur u a pour expression u(t)=\mathrm{U}(\omega t+\varphi) où \omega=2 \pi f.
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2 Mise en pratique
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QCM
Une ou plusieurs bonnes réponses possibles.
1. Soit l'intensité i(t)=4 \sin \left(314 t+\frac{\pi}{2}\right). Quelle est la valeur de i à t = 0 ?
2. Soit l'intensité i(t)=4 \sin \left(314 t+\frac{\pi}{2}\right). Quel est le vecteur de Fresnel qui lui est associé ?
3. Sur l'intervalle ]-\pi \: ; \pi], l'équation \cos(x) = 0 admet comme solution :
4. Sur l'intervalle ]-\pi \: ; \pi] l'équation \sin (x)=\frac{1}{2} admet comme solution :
2. Soit l'intensité i(t)=4 \sin \left(314 t+\frac{\pi}{2}\right). Quel est le vecteur de Fresnel qui lui est associé ?
3. Sur l'intervalle ]-\pi \: ; \pi], l'équation \cos(x) = 0 admet comme solution :
4. Sur l'intervalle ]-\pi \: ; \pi] l'équation \sin (x)=\frac{1}{2} admet comme solution :
5. Soit \overrightarrow{\mathrm{OM}}(5 \: ; 4), un vecteur de Fresnel associé à une fonction f. Quelle pourrait être l'expression de cette fonction f ?
6. Une tension sinusoïdale u de fréquence 50 Hz et de valeur maximale 230 V est prise comme origine des phases (sa phase à l'origine est nulle). Comment s'écrit‑elle en fonction du temps t en seconde ?
7. Quel est le nombre de solutions à l'équation \cos(x)=0,3 sur ]-\pi \: ; \pi] ?
8. Quelles sont les solutions de l'équation \cos(x)=0,3 sur ]-\pi \: ; \pi] ?
9. Quel est le nombre de solutions de l'équation 0,2 \sin \left(314 x+\frac{\pi}{4}\right)=1 sur ]-\pi \: ; \pi] ?
6. Une tension sinusoïdale u de fréquence 50 Hz et de valeur maximale 230 V est prise comme origine des phases (sa phase à l'origine est nulle). Comment s'écrit‑elle en fonction du temps t en seconde ?
7. Quel est le nombre de solutions à l'équation \cos(x)=0,3 sur ]-\pi \: ; \pi] ?
8. Quelles sont les solutions de l'équation \cos(x)=0,3 sur ]-\pi \: ; \pi] ?
9. Quel est le nombre de solutions de l'équation 0,2 \sin \left(314 x+\frac{\pi}{4}\right)=1 sur ]-\pi \: ; \pi] ?
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Problème
Un électricien souhaite alimenter un circuit avec un courant d'intensité sinusoïdale d'expression {i_{3}(t)=5 \sin \left(\pi t+\frac{5 \pi}{18}\right)}. Pour ce faire, il souhaite utiliser deux courants sinusoïdaux : un d'intensité i_{1}(t)=3 \sin (\pi t) et un autre d'intensité i_2 qu'il cherche à déterminer.
Problématique
Déterminer une expression de l'intensité \bm{i_2} que l'électricien doit utiliser.
2. Tracer sur un même graphique les vecteurs de Fresnel \overrightarrow{i_1} et \overrightarrow{i_3} des grandeurs i_1 et i_3.
GeoGebra
3. Tracer le vecteur \overrightarrow{i_2} tel que \overrightarrow{i_{3}}=\overrightarrow{i_{1}}+\vec{i}_{2}.
4. Donner une expression possible de la grandeur i_2 représentée par le vecteur de Fresnel \overrightarrow{i_2} précédent.
5. Répondre à la problématique.
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