Partie A : L'œil d'Horus

1

Donner deux points communs entre toutes les fractions représentées.

2

Donner l'écriture fractionnaire de leur somme.

3

Quelle fraction faut‑il ajouter à cette somme pour obtenir 1 ?

Partie B : Fractions égyptiennes

Une fraction égyptienne est une fraction dont le numérateur est 1. On admet que toutes les fractions peuvent s'écrire comme la somme de fractions égyptiennes de valeurs différentes.

1

Calculer les sommes \frac{1}{4}+\frac{1}{10} et \frac{1}{2}+\frac{1}{22}.

2

On souhaite maintenant décomposer des fractions en somme de fractions égyptiennes distinctes. Pour cela, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par 2. Par exemple {\frac{5}{9}=\frac{5 \times 2}{9 \times 2}=\frac{10}{18}=\frac{9+1}{18}=\frac{9}{18}+\frac{1}{18}=\frac{1}{2}+\frac{1}{18}}. En raisonnant de la même manière, décomposer \frac{3}{5} et \frac{2}{3}.

Peut‑on appliquer la méthode de la partie B à toutes les fractions ?

Ce tableau donne les distances, en kilomètre, entre les différentes planètes et le Soleil.

1

Écrire chacune des distances sous forme décimale.

2

Écrire chacune des distances sous la forme a \times 10^{n}, avec 1 \leqslant a \lt10 et n un nombre entier.

Toutes ces distances ont été exprimées de deux manières différentes. Quel est l'avantage de la seconde écriture par rapport à la première ?

Une fractale est un objet qui se répète à l'infini. En zoomant sur une partie, le tout réapparaît à l'identique.
Nous allons nous intéresser à la construction d'une fractale particulière : le triangle de Sierpiński.
Voici les différentes étapes à suivre pour construire le triangle de Sierpiński.
Étape 0 : On trace un triangle équilatéral.
Étape 1 : On trace le triangle blanc ayant pour sommets les milieux de chacun des côtés du triangle précédent.
Étapes 2 et 3 : On réitère ce procédé avec chacun des triangles roses obtenus, comme ci‑dessous.

1

Construire le triangle de Sierpiński de l'étape 2 en prenant pour triangle de départ un triangle équilatéral de côté 8 cm.

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Compléter le tableau suivant.

3

Si on poursuit la construction jusqu'à l'étape 5, déterminer le nombre de triangles roses obtenus.

4

Déborah affirme qu'à l'étape 10, il y a 3^{10} triangles roses. A‑t‑elle raison ?

Conjecturer le nombre de triangles roses à l'étape {n}.