Mathématiques 1re Techno
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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 3
TP Info
Enveloppe d'une courbe
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Énoncé
Questions préliminaires
On considère la fonction carré f: x \mapsto x^{2} et sa courbe représentative \mathscr{P}.
Pour tout nombre réel a, montrer que l'équation de la tangente à \mathscr{P} au point d'abscisse a s'écrit y=2 a x-a^{2}.
Remarque
La figure ci‑après s'appelle l'enveloppe de \mathcal{P} par ses tangentes.
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Tracer une courbe à l'aide de ses tangentes en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode de résolution 1
Geogebra
GeoGebra
1. a. Créer un curseur a variant de -5 à 5 avec un pas de 0,1.
b. Écrire l'équation y=2 a x-a^{2} et afficher la trace de la droite.
c. Animer le curseur.
b. Écrire l'équation y=2 a x-a^{2} et afficher la trace de la droite.
c. Animer le curseur.
2. Répéter la méthode en traçant la famille de droites d'équation y=3 a^{2} x-2 a^{3}.
Quelle courbe met‑on en évidence ?
3. Démontrer le résultat précédent en adaptant la question préliminaire.
Quelle courbe met‑on en évidence ?
3. Démontrer le résultat précédent en adaptant la question préliminaire.
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Méthode de résolution 2
Python
1. Expliquer cet algorithme.
2. Exécuter l'algorithme.
3. Par quelle instruction doit‑on remplacer la ligne 3 pour représenter la fonction cube ?
import matplotlib.pyplot as plt Int = [-5 + k*0.1 for k in range(101)] def param_tangente(a): return (2*a,-a**2) plt.axis([-5,5,-6,10]) plt.grid(True) for a in Int: m, p = param_tangente(a) y = [m*x + p for x in Int] plt.plot(Int,y) plt.show()
2. Exécuter l'algorithme.
3. Par quelle instruction doit‑on remplacer la ligne 3 pour représenter la fonction cube ?
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Comment modifier le nombre de tangentes tracées autour de la courbe ?
Remarque
On peut également faire apparaître une autre courbe appelée développée, en traçant les perpendiculaires aux tangentes en chaque point de la courbe (introduite par le mathématicien néerlandais Christian Huygens au XVIIe s.).
Appliquée à la fonction carré, la développée correspond à la courbe ci‑dessous :
Appliquée à la fonction carré, la développée correspond à la courbe ci‑dessous :
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Scientifique polyvalent (mathématicien, physicien, astronome…), Christian Huygens a travaillé autour de nombreux domaines de recherche durant sa vie. Ses découvertes portent essentiellement sur son travail en probabilités et statistiques ainsi qu'en géométrie. Il s'est longtemps opposé à Leibniz et au développement de son calcul infinitésimal (tel que la dérivation) qu'il juge inutile compte tenu de la puissance des outils géométriques qu'il est capable de mettre en œuvre. Une des notions qu'il a développées, la développante du cercle, permet aujourd'hui la fabrication des engrenages.
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