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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Poursuite d'études
Calcul intégral
✔ Calculer l'intégrale sur un intervalle \bm{[a \:; b]} d'une fonction \bm{f}
en utilisant l'expression d'une primitive de \bm{f}.
✔ Interpréter l'intégrale d'une fonction positive.
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Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a \:; b] et \text{F} une primitive de f sur cet intervalle.
L'intégrale de f sur [a \:; b] est le nombre : \displaystyle\int_{{\color{blue}a}}^{{\color{red}b}} f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{F}({\color{red}b})-\mathrm{F}({\color{blue}a}).
L'intégrale de f sur [a \:; b] est le nombre : \displaystyle\int_{{\color{blue}a}}^{{\color{red}b}} f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{F}({\color{red}b})-\mathrm{F}({\color{blue}a}).
Remarque
La valeur de l'intégrale ne dépend pas de la primitive choisie pour le calcul.
Propriétés
Si la fonction f est positive sur [a \:; b], alors l'intégrale de f sur [a \:; b] est égale à l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de f et les droites d'équations x = a et x = b.
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Exercice corrigé
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Énoncé
Soit f la fonction définie sur \R par f: x \mapsto-0{,}6 x^{2}+7 x-4{,}2.
Calculer et interpréter \displaystyle\int_{1}^{10} f(x) \text{d} x.
Calculer et interpréter \displaystyle\int_{1}^{10} f(x) \text{d} x.
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Solution
Une primitive de x \mapsto-0{,}6 x^{2} est x \mapsto-0{,}6 \times \frac{1}{3} x^{3}, soit x \mapsto-0,2 x^{3}.
Une primitive de x \mapsto 7 x est x \mapsto 7 \times \frac{1}{2} x^{2}, soit x \mapsto 3{,}5 x^{2}.
Une primitive de x \mapsto-4{,}2 est x \mapsto-4{,}2 x.
Ainsi, une primitive de f est \mathrm{F}: x \mapsto-0{,}2 x^{3}+3{,}5 x^{2}-4{,}2 x.
Par définition, on a \displaystyle\int_{1}^{10} f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{F}(10)-\mathrm{F}(1).
D'une part, \mathrm{F}(10)=-0{,}2 \times 10^{3}+3{,}5 \times 10^{2}-4{,}2 \times 10=108.
D'autre part, \mathrm{F}(1)=-0{,}2 \times 1^{3}+3{,}5 \times 1^{2}-4{,}2 \times 1=-0{,}9.
Donc \displaystyle\int_{1}^{10} f(x) \mathrm{d} x=108-(-0{,}9)=108{,}9.
On peut dire que l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f et les droites d'équation x = 1 et x = 10 vaut 108{,}9 unités d'aire.
Une primitive de x \mapsto 7 x est x \mapsto 7 \times \frac{1}{2} x^{2}, soit x \mapsto 3{,}5 x^{2}.
Une primitive de x \mapsto-4{,}2 est x \mapsto-4{,}2 x.
Ainsi, une primitive de f est \mathrm{F}: x \mapsto-0{,}2 x^{3}+3{,}5 x^{2}-4{,}2 x.
Par définition, on a \displaystyle\int_{1}^{10} f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{F}(10)-\mathrm{F}(1).
D'une part, \mathrm{F}(10)=-0{,}2 \times 10^{3}+3{,}5 \times 10^{2}-4{,}2 \times 10=108.
D'autre part, \mathrm{F}(1)=-0{,}2 \times 1^{3}+3{,}5 \times 1^{2}-4{,}2 \times 1=-0{,}9.
Donc \displaystyle\int_{1}^{10} f(x) \mathrm{d} x=108-(-0{,}9)=108{,}9.
On peut dire que l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f et les droites d'équation x = 1 et x = 10 vaut 108{,}9 unités d'aire.
Méthode
- On détermine une primitive \mathrm{F} de la fonction f en décomposant f en somme de fonctions de référence et en utilisant le tableau de dérivées usuelles.
- On écrit que \displaystyle\int_{0}^{10} f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{F}(10)-\mathrm{F}(0).
- On calcule \mathrm{F}(10) et \mathrm{F}(0).
- On en déduit la valeur de l'intégrale.
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Exercices
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Exercice 19
Soit f, g et h les fonctions définies, pour tout
réel x, par f(x) = 1, g(x) = 2x et h(x) = 3x^2.
Calculer \displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \mathrm{d} x, \displaystyle\int_{-2}^{2} g(x) \mathrm{d} x et \displaystyle\int_{-2}^{2} h(x) \mathrm{d} x.
Calculer \displaystyle\int_{-2}^{2} f(x) \mathrm{d} x, \displaystyle\int_{-2}^{2} g(x) \mathrm{d} x et \displaystyle\int_{-2}^{2} h(x) \mathrm{d} x.
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Exercice 20
Soit f: x \mapsto \frac{-1}{x^{2}}, pour x \neq 0.
1. Déterminer une primitive de f sur [-2 \:;-1] \cup[1 \:; 2].
2. Calculer \displaystyle\int_{-2}^{-1} f(x) \mathrm{d} x et \displaystyle\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x.
1. Déterminer une primitive de f sur [-2 \:;-1] \cup[1 \:; 2].
2. Calculer \displaystyle\int_{-2}^{-1} f(x) \mathrm{d} x et \displaystyle\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x.
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Exercice 21
Soit f une fonction définie sur [-3\: ; 3] par f(x)=\frac{3}{2}.
1. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de la fonction f.
2. Déterminer graphiquement puis par le calcul la valeur de \displaystyle\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x.
1. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de la fonction f.
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Exercice 22
Calculer \displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x, puis \displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{3}{x} \mathrm{~d} x, où \text{e} = \text{e}^1.
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Exercice 23
Calculer \displaystyle\int_{-5}^{0} 9 x \text{d} x et \displaystyle\int_{0}^{5} 9 x \text{d} x, puis \displaystyle\int_{-5}^{0}\left(x^{2}+1\right) \text{d} x et \displaystyle\int_{0}^{5}\left(x^{2}+1\right) \text{d} x.
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Exercice 24
La fonction
f: x \mapsto-0{,}5 x+1{,}5 est représentée ci-dessous.
Déterminer la valeur de \displaystyle\int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x à l'aide du graphique.
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Exercice 25
On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction x \mapsto 0{,}5 x+2{,}5.
Déterminer graphiquement la valeur de \displaystyle\int_{-5}^{0}(0{,}5 x+2{,}5) \text{d} x.
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Exercice 26
Calculer \displaystyle\int_{0}^{1{,}5}(-3 x+4{,}5) \text{d} x puis vérifier ce résultat à l'aide du graphique ci-dessous.
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Exercice 27
Télécharger le fichier sur .
À l'aide de l'outil « Inspecteur de fonction », représenter l'aire sous la courbe entre x = 1 et x = 2 puis déterminer \displaystyle\int_{1}^{2}\left(x^{2}-x\right) \text{d} x.
À l'aide de l'outil « Inspecteur de fonction », représenter l'aire sous la courbe entre x = 1 et x = 2 puis déterminer \displaystyle\int_{1}^{2}\left(x^{2}-x\right) \text{d} x.
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Exercice 28
À l'aide de GeoGebra, déterminer \displaystyle\int_{2}^{4} \frac{2}{x^{2}} \text{d} x.
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Exercice 29
Soit f la fonction définie, pour x > 0, par f: x \mapsto \frac{4}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{4} et \mathcal{C}_{f} sa courbe représentative.
Calculer \displaystyle\int_{2}^{5} f(x) \mathrm{d} x et interpréter le résultat.
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Exercice 30
Télécharger le fichier sur .
1. À l'aide de l'outil « Inspecteur de fonction », représenter l'aire sous la courbe entre les bornes 2 et 3 et entre les bornes 1 et 3 puis déterminer les intégrales : \displaystyle\int_{2}^{3}\left(1-\frac{3}{x^{2}}\right) \mathrm{d} x et \displaystyle\int_{1}^{3}\left(1-\frac{3}{x^{2}}\right) \mathrm{d} x.
2. Expliquer pourquoi on ne peut pas calculer \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(1-\frac{3}{x^{2}}\right) \text{d} x.
1. À l'aide de l'outil « Inspecteur de fonction », représenter l'aire sous la courbe entre les bornes 2 et 3 et entre les bornes 1 et 3 puis déterminer les intégrales : \displaystyle\int_{2}^{3}\left(1-\frac{3}{x^{2}}\right) \mathrm{d} x et \displaystyle\int_{1}^{3}\left(1-\frac{3}{x^{2}}\right) \mathrm{d} x.
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Exercice 31
Calculer \displaystyle\int_{-10}^{0}\left(-0{,}3 x^{2}-2\right) \text{d} x.
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Exercice 32
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté la fonction g: x \mapsto \frac{1}{x}+x-1.
1. Calculer les aires représentées en vert et en rouge sur le graphique.
2. En déduire un encadrement de \displaystyle\int_{1}^{4} g(x) \text{d} x.
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1. Calculer les aires représentées en vert et en rouge sur le graphique.
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Exercice 33
À l'aide de GeoGebra, déterminer \displaystyle\int_{-2}^{2} \frac{1}{x^{2}+1} \text{d} x.
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Exercice 34
Inversé
Donner l'expression d'une fonction f
définie sur [0 \:; 1] et telle que \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \text{d} x=3.
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