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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Poursuite d'études
Produit scalaire
✔ Calculer le produit scalaire de deux vecteurs en utilisant leurs coordonnées.
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On se place dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}).
\|\vec{u}\|^{2}=\vec{u} \cdot \vec{u}=x^{2}+y^{2}, donc \|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Exemple : Soit \vec{u} le vecteur de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c} -1{,}5 \\ 2 \end{array}\right).
Alors \|\vec{u}\|=\sqrt{(-1{,}5)^{2}+2^{2}}=\sqrt{2{,}25+4}=\sqrt{6{,}25}=2{,}5.
Alors \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}.
Exemple : Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0{,}5 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array}\right).
Alors \vec{u} \cdot \vec{v}=2 \times 3+0{,}5 \times(-4)=6-2=4.
Propriété
Pour tout vecteur \vec{u} de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right), on a :\|\vec{u}\|^{2}=\vec{u} \cdot \vec{u}=x^{2}+y^{2}, donc \|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Exemple : Soit \vec{u} le vecteur de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c} -1{,}5 \\ 2 \end{array}\right).
Alors \|\vec{u}\|=\sqrt{(-1{,}5)^{2}+2^{2}}=\sqrt{2{,}25+4}=\sqrt{6{,}25}=2{,}5.
Propriété
Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right).Alors \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}.
Exemple : Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0{,}5 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array}\right).
Alors \vec{u} \cdot \vec{v}=2 \times 3+0{,}5 \times(-4)=6-2=4.
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Exercice corrigé
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Énoncé
Dans un repère orthonormé (\mathrm{O}\: ; \vec{i}, \vec{j}), on considère les points \text{A}(2 \:; - 3), \text{B}(-1 \:; 1)
et \text{C}(0{,}5 \:; - 3).
1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| et \| \overrightarrow{\mathrm{AC}}\|.
2. En déduire une valeur approchée de la mesure en degré de l'angle \widehat{\text { BAC }}, arrondie à l'unité.
1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| et \| \overrightarrow{\mathrm{AC}}\|.
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Solution
1. \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées \left(\begin{array}{c}
-1-2 \\
1-(-3)
\end{array}\right) soit \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c}
-3 \\
4
\end{array}\right) et
\overrightarrow{\mathrm{AC}} a pour coordonnées \left(\begin{array}{c}
0{,}5-2 \\
-3-(-3)
\end{array}\right) soit \overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(\begin{array}{c}
-1{,}5 \\
0
\end{array}\right).
Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-3) \times(-1{,}5)+4 \times 0=4{,}5, \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5 et \|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| =\sqrt{(-1{,}5)^{2}+0^{2}}=\sqrt{2{,}25}=1{,}5.
2. Par ailleurs, \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}), donc 4{,}5=5 \times 1{,}5 \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}), d'où \cos (\widehat{\mathrm{BAC}})=\frac{4{,}5}{7{,}5}.
On en déduit \widehat{\mathrm{BAC}} \simeq 53^{\circ}.
Donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-3) \times(-1{,}5)+4 \times 0=4{,}5, \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5 et \|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| =\sqrt{(-1{,}5)^{2}+0^{2}}=\sqrt{2{,}25}=1{,}5.
2. Par ailleurs, \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}), donc 4{,}5=5 \times 1{,}5 \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}), d'où \cos (\widehat{\mathrm{BAC}})=\frac{4{,}5}{7{,}5}.
On en déduit \widehat{\mathrm{BAC}} \simeq 53^{\circ}.
Méthode
1. On détermine les coordonnées des
vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
On utilise les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} pour calculer leur produit scalaire et leurs normes.
2. On écrit l'expression du produit scalaire de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} en fonction du cosinus de \widehat{\text { BAC }}.
On remplace \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| et \|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| par leurs valeurs dans la formule avec le cosinus et on résout l'équation ainsi obtenue.
On utilise les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} pour calculer leur produit scalaire et leurs normes.
2. On écrit l'expression du produit scalaire de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} en fonction du cosinus de \widehat{\text { BAC }}.
On remplace \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| et \|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| par leurs valeurs dans la formule avec le cosinus et on résout l'équation ainsi obtenue.
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Exercices
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Exercice 18
Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées
\vec{u}\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2
\end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c}
2{,}5 \\
5
\end{array}\right) dans un repère orthonormé.
Calculer \vec{u} \cdot \vec{v}.
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Exercice 19
Soit \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs de coordonnées
\vec{u}\left(\begin{array}{c}
10 \\
25
\end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c}
0{,}02 \\
-0{,}04
\end{array}\right) dans un repère orthonormé.
Calculer \vec{u} \cdot \vec{v}.
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Exercice 20
Soit \vec{u} de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c}
-1{,}2 \\
0{,}6
\end{array}\right) dans un repère orthonormé.
Calculer une valeur approchée, arrondie au dixième, de \|\vec{u}\|.
Calculer une valeur approchée, arrondie au dixième, de \|\vec{u}\|.
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Exercice 21
Soit \vec{u} de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c}
5 \\
-5
\end{array}\right).
Donner la valeur exacte de \|\vec{u}\|.
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Exercice 22
Dans un repère orthonormé, on considère les
points \mathrm{A}(0 \:; 2), \mathrm{B}(1\: ; 1), \mathrm{C}(-1 \:; 0) et \mathrm{D}(0{,}5 \: ; 0{,}5).
Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} et \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} et \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
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Exercice 23
Dans un repère orthonormé, on considère les
points \mathrm{A}(-2{,}1 \:; 0{,}4), \mathrm{B}(0{,}4\: ; 0{,}4), et \mathrm{C}(4{,}9 \:; -0{,}6).
Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
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Exercice 24
Dans un repère orthonormé, on considère les points \mathrm{A}(3 \:; 10), \mathrm{B}(1\: ; 12), et \mathrm{C}(-4 \:; 0).
Calculer les valeurs approchées de \| \overrightarrow{\mathrm{AB}}\| et \| \overrightarrow{\mathrm{AC}} \|, arrondies au dixième.
Calculer les valeurs approchées de \| \overrightarrow{\mathrm{AB}}\| et \| \overrightarrow{\mathrm{AC}} \|, arrondies au dixième.
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Exercice 25
En utilisant les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{EB}} et \overrightarrow{\mathrm{DC}} dans le repère (\mathrm{A} \:; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}), calculer \overrightarrow{\mathrm{EB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}.
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Exercice 26
En utilisant les coordonnées dans le repère
(\mathrm{A} \:; \overrightarrow{\mathrm{AG}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}), calculer \overrightarrow{\mathrm{GB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{GB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}
et \overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
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Exercice 27
Soit x un nombre réel, \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs
de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c}
6 \\
0{,}5
\end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l}
1 \\
x
\end{array}\right).
Exprimer \vec{u} \cdot \vec{v} en fonction de x.
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Exercice 28
Soit x un nombre réel, \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs
de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c}
-2{,}4 \\
3
\end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l}
5 \\
x
\end{array}\right).
Déterminer la valeur de x telle que \vec{u} \cdot \vec{v}=0.
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Exercice 29
Soit x un nombre réel, \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs
de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c}
10 \\
4
\end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l}
2 \\
x
\end{array}\right).
Déterminer la valeur de x telle que \vec{u} \cdot \vec{v}=0.
Déterminer la valeur de x telle que \vec{u} \cdot \vec{v}=0.
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Exercice 30
On considère les points \mathrm{A}(-2 \:;-1), \mathrm{B}(-1\: ; 1) et \mathrm{C}(1 \:; 0) dans un repère orthonormé.
1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}},\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| et \|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| à l'aide des coordonnées de ces vecteurs.
2. Exprimer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} en fonction de \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}) et en déduire la mesure en degré de \widehat{\mathrm{BAC}}.
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1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}},\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| et \|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| à l'aide des coordonnées de ces vecteurs.
2. Exprimer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} en fonction de \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}) et en déduire la mesure en degré de \widehat{\mathrm{BAC}}.
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Exercice 31
On considère les points \mathrm{E}(1 \:; 0), \mathrm{D}(0 \:; 2) et \mathrm{F}(2 \:; 3) dans un repère orthonormé.
1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}} à l'aide des coordonnées de ces vecteurs.
2. Exprimer \overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}} en fonction du cosinus de l'angle \widehat{\text { EDF }} et en déduire la valeur de \widehat{\text { EDF }}.
1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}} à l'aide des coordonnées de ces vecteurs.
2. Exprimer \overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}} en fonction du cosinus de l'angle \widehat{\text { EDF }} et en déduire la valeur de \widehat{\text { EDF }}.
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Exercice 32
Soit \vec{u} et \vec{v} les vecteurs de coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{c}
2 \\
-1
\end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l}
-2 \\
-1
\end{array}\right).
1. Calculer \vec{u} \cdot \vec{v}.
2. Exprimer \vec{u} \cdot \vec{v} en fonction de \cos (a), \|\vec{u}\| et \| \vec{v} \|.
3. En déduire une valeur approchée de la mesure en degré de l'angle a, arrondie à l'unité.
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1. Calculer \vec{u} \cdot \vec{v}.
2. Exprimer \vec{u} \cdot \vec{v} en fonction de \cos (a), \|\vec{u}\| et \| \vec{v} \|.
3. En déduire une valeur approchée de la mesure en degré de l'angle a, arrondie à l'unité.
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