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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Poursuite d'études
Nombres complexes
✔Calculer et interpréter géométriquement le module et l'argument d'un nombre complexe et l'écrire sous forme trigonométrique.
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Définitions
- Le module d'un nombre complexe z = a + \text{i}b est : |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
- Un argument d'un nombre complexe non nul z est une mesure en radian de l'angle orienté \theta tel que \cos (\theta)=\frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|} et \sin (\theta)=\frac{\operatorname{Im}(z)}{|z|}.
Il est déterminé, en fonction des valeurs du cosinus et du sinus, grâce au tableau suivant.
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| \theta | 0 | \frac{\pi}{6} | \frac{\pi}{4} | \frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{2} | \frac{2 \pi}{3} | \frac{3 \pi}{4} | \frac{5 \pi}{6} | \pi |
| \cos(\theta) | 1 | \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{1}{2} | 0 | \frac{-1}{2} | \frac{-\sqrt{2}}{2} | \frac{-\sqrt{3}}{2} | -1 |
| \sin(\theta) | 0 | \frac{1}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 | \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{1}{2} | 0 |
Exemple : Sur la figure ci-dessous, l'affixe de \text{M} sous forme trigonométrique est z={\color{blue}2}\left(\cos \left({\color{orange}\frac{3 \pi}{8}}\right)+\text{i} \sin \left({\color{orange}\frac{3 \pi}{8}}\right)\right) car la valeur en radian correspondant à 67{,}5° est \frac{3 \pi}{8}.
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Exercice corrigé
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Énoncé
On considère le nombre complexe z = \sqrt{3} - \text{i}.
1. Déterminer le module et un argument de z puis donner son écriture trigonométrique.
2. Placer le point \text{M} d'affixe z dans un repère orthonormé.
1. Déterminer le module et un argument de z puis donner son écriture trigonométrique.
2. Placer le point \text{M} d'affixe z dans un repère orthonormé.
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Solution
1. a=\operatorname{Re}(z)=\sqrt{3} et b=\operatorname{Im}(z)=-1 donc |z|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3+1}=2.
\cos (\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2} et \sin (\theta)=\frac{-1}{2} donc \theta=\frac{-\pi}{6}.
Finalement, z=2\left(\cos \left(\frac{-\pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-\pi}{6}\right)\right).
2.
\cos (\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2} et \sin (\theta)=\frac{-1}{2} donc \theta=\frac{-\pi}{6}.
Finalement, z=2\left(\cos \left(\frac{-\pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-\pi}{6}\right)\right).
2.
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Méthode
1. On identifie a=\operatorname{Re}(z) et b=\operatorname{Im}(z).
On calcule |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \cos \theta=\frac{a}{|z|} et \sin \theta=\frac{b}{|z|}.
On utilise le tableau pour déduire la mesure de l'angle \theta de son cosinus et de son sinus.
Dans la formule z=r(\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta)), on remplace r et \theta par leurs valeurs, sans calculer \cos(\theta) et \sin(\theta).
2. Pour placer le point \text{M,} on construit la demi-droite d'origine \text{O} formant un angle \theta avec l'axe horizontal.
On place \text{M} sur cette demi-droite, tel que \text{OM} =|z|.
On calcule |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \cos \theta=\frac{a}{|z|} et \sin \theta=\frac{b}{|z|}.
On utilise le tableau pour déduire la mesure de l'angle \theta de son cosinus et de son sinus.
Dans la formule z=r(\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta)), on remplace r et \theta par leurs valeurs, sans calculer \cos(\theta) et \sin(\theta).
2. Pour placer le point \text{M,} on construit la demi-droite d'origine \text{O} formant un angle \theta avec l'axe horizontal.
On place \text{M} sur cette demi-droite, tel que \text{OM} =|z|.
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Exercices
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Exercice 17
Donner les valeurs exactes des modules des nombres complexes suivants.
1. 2 - 3\text{i}
2. -5 + \text{i}
3. 0{,}4 + 1{,}2\text{i}
1. 2 - 3\text{i}
2. -5 + \text{i}
3. 0{,}4 + 1{,}2\text{i}
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Exercice 18
Donner une valeur approchée, arrondie au dixième, des modules des nombres complexes suivants.
1. 6\text{i} - 7
2. 13 + 9\text{i}
3. 12\text{i}
1. 6\text{i} - 7
2. 13 + 9\text{i}
3. 12\text{i}
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Exercice 19
Soit z = 4 - 7\text{i}. Donner la valeur exacte de |z| et de |\overline{z}|.
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Exercice 20
Déterminer le module et un argument des
nombres complexes 2\text{i} et -3.
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Exercice 21
Déterminer le module et un argument du
nombre complexe z = 1 - \text{i} et de son conjugué.
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Exercice 22
Déterminer le module et un argument du
nombre complexe z = \sqrt{12} + 6\text{i} et de son conjugué.
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Exercice 23
Donner l'écriture trigonométrique des nombres complexes suivants.
1. 3-\sqrt{3} \mathrm{i}
2. -5+5 \mathrm{i}
3. -5 \sqrt{3}-15 \mathrm{i}
1. 3-\sqrt{3} \mathrm{i}
2. -5+5 \mathrm{i}
3. -5 \sqrt{3}-15 \mathrm{i}
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Exercice 24
Donner l'écriture algébrique des nombres complexes suivants.
1. 0{,}1(\cos (\pi)+\mathrm{i} \sin (\pi))
2. \sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right)
3. 4\left(\cos \left(\frac{-\pi}{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-\pi}{2}\right)\right)
1. 0{,}1(\cos (\pi)+\mathrm{i} \sin (\pi))
2. \sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right)
3. 4\left(\cos \left(\frac{-\pi}{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-\pi}{2}\right)\right)
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Exercice 25
Représenter dans un repère orthonormé les points \text{M,} \text{N} et \text{P} d'affixes respectives :
- z_{\mathrm{M}}=1,5\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right)\:;
- {z_{\mathrm{N}}}=2\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\:;
- z_{\mathrm{P}}=\left(\cos \left(\frac{-\pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-\pi}{3}\right)\right).
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Exercice 26
Donner les écritures trigonométriques des
nombres complexes suivants : z_{\mathrm{A}}=-1, z_{\mathrm{B}}=1, z_{\mathrm{C}}=\mathrm{i} et z_{\mathrm{D}}=-\mathrm{i}.
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Exercice 27
Déterminer les écritures trigonométriques des
affixes a, b et c des points \text{A,} \text{B} et \text{C} représentés ci-dessous, vérifiant \text{OA} = 2, \text{OB} = 1 et \text{OC} = \sqrt{2}.
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Exercice 28
Les points \text{C,} \text{D} et \text{E} ci-dessous sont sur le cercle de centre \text{O} et de rayon \sqrt{6}.
Donner les arguments des affixes respectives z_\text{C},
z_\text{D} et z_\text{E} de chacun de ces points, puis leur écriture trigonométrique, et en déduire leur écriture algébrique.
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Exercice 29
Déterminer les écritures trigonométriques
des nombres complexes z_{\text{A}}=-\sqrt{8}+\text{i} \sqrt{8} et z_{\text{B}}=-\sqrt{18}-\text{i} \sqrt{18} puis les représenter dans un repère orthonormé direct.
GeoGebra
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Exercice 30
Déterminer les écritures trigonométriques
des nombres complexes z_{\text{C}}=\sqrt{75}-5\text{i} et z_{\text{D}}=2+\text{i} \sqrt{12} puis les représenter dans un repère orthonormé direct.
GeoGebra
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Exercice 31
Déterminer les écritures trigonométriques
des affixes des points \text{C,} \text{D} et \text{E} représentés ci-dessous.
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