Trigonométrie

En étudiant un circuit électronique, on constate que les tensions aux bornes des dipôles sont déphasées par rapport à la tension délivrée par le générateur, mais qu'elles possèdent la même période. Voici l᾽oscillogramme que Camille obtient en étudiant les tensions de deux dipôles d'un même circuit.

1. S'appropprier
Quel type de fonction peut être utilisé pour modéliser au mieux ces deux fonctions ? Écrire leur formule générale.

2. Analyser/Raisonner, Réaliser
Déterminer par lecture graphique la période de ces deux tensions puis calculer leur fréquence f et en déduire leur pulsation \omega.

3. S'appropprier
Quelles sont les valeurs maximales des deux tensions ?

4. S'appropprier
Déterminer la phase à l'origine \varphi_1 de la tension u_1.

5. Analyser/Raisonner
Sachant que u_{2}(0)=4 \times \sqrt{3}, vérifier que \varphi_2 peut être égal à \frac{\pi}{3}.
On admettra par la suite que cette égalité est vraie.

6. Analyser/Raisonner
Déduire des questions précédentes l'expression algébrique de u_1 et u_2.

On considère deux fonctions f et g définies par {f(t)=5 \sin (100 \pi t)} et {g(t)=8 \sin \left(100 \pi t+\frac{\pi}{3}\right)} pour tout réel t.

7. Réaliser
Construire sur le même graphique les deux vecteurs de Fresnel \overrightarrow{f} et \overrightarrow{g} associés à ces fonctions.

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8. Valider
Quel est l'angle entre ces deux vecteurs ?

9. Réaliser
Construire sur le même repère le vecteur \vec{w}=\vec{f}+\vec{g}.

10. Réaliser
Par lecture graphique, donner la norme de \overrightarrow{w} et sa phase à l'origine (l'angle entre \overrightarrow{w} et l'axe (\textrm{O}x)).

Camille a besoin de connaître à quels instants t la tension u_2 vaut 4 \: \textrm{V}.

11. Réaliser, Communiquer
Résoudre l'équation 8 \sin \left(100 \pi t+\frac{\pi}{3}\right)=4 sur l'intervalle ]-0,01 \: ; 0,01] puis interpréter le résultat.