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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 6
Exercices
Évolutions et variations
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1Calculer \bm{\text{V}_{1}} après une évolution de \bm {t\:\%}
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On considère une grandeur \mathrm{V}_{0} subissant une évolution de t \:\% (avec t>0 dans le cas d'une augmentation et t\lt0 dans le cas d'une diminution). On cherche à connaître la valeur de la grandeur après cette évolution.
Pour obtenir la valeur de \mathrm{V}_{1}, on multiplie \mathrm{V}_{0} par \mathrm{CM}=1+\frac{t}{100}, appelé coefficient multiplicateur de l'évolution.
Autrement dit, \mathrm{V}_{1}=\mathrm{V}_{0} \times \mathrm{CM}=\mathrm{V}_{0} \times\left(1+\frac{t}{100}\right).
Pour obtenir la valeur de \mathrm{V}_{1}, on multiplie \mathrm{V}_{0} par \mathrm{CM}=1+\frac{t}{100}, appelé coefficient multiplicateur de l'évolution.
Autrement dit, \mathrm{V}_{1}=\mathrm{V}_{0} \times \mathrm{CM}=\mathrm{V}_{0} \times\left(1+\frac{t}{100}\right).
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Énoncé
La population d'une ville de 10\:000 habitants
a augmenté de 70\:\%.
À combien s'élève alors la population ?
À combien s'élève alors la population ?
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Corrigé
On a \mathrm{V}_{0}=10\:000 \stackrel{+70 \%}{\longrightarrow} \mathrm{V}_{1}.
Donc \mathrm{V}_{1}=10\:000 \times\left(1+\frac{70}{100}\right)=10\:000 \times 1{,}7=17\:000.
La population s'élève maintenant à 17\:000 habitants.
Donc \mathrm{V}_{1}=10\:000 \times\left(1+\frac{70}{100}\right)=10\:000 \times 1{,}7=17\:000.
La population s'élève maintenant à 17\:000 habitants.
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Exercice 21
Une quantité augmente de 45\:\%. Par combien est-elle multipliée ?
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Exercice 22
Les impôts d'une ville ont baissé de 20\:\%.
Une famille en payait auparavant 800\:€.
Combien en paie-t-elle à présent ?
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Exercice 23
Un nombre est multiplié par 0{,}45. Le taux d'évolution en pourcentage associé sera-t-il positif ou négatif ?
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Exercice 24
Un article vaut 48\:€ et son prix subit une diminution de 25\:\%. Calculer son nouveau prix.
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Exercice 25
Par combien faut-il multiplier une quantité pour
que celle-ci augmente de 62\:\% ?
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Exercice 26
Compléter la phrase suivante : « Diminuer une quantité de 5\:\%, c'est la multiplier par ».
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2Retrouver \bm{\text{V}_{0}} connaissant \bm{\text{V}_{1}} et l'évolution de \bm {t\:\%}
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On considère une grandeur subissant une évolution de t\:\% et passant alors de la valeur \text{V}_0 inconnue à la valeur \mathrm{V}_{1} \neq 0. On cherche à connaître la valeur \text{V}_0.
On a \mathrm{V}_{0}=\frac{\mathrm{V}_{1}}{\mathrm{CM}}.
On a \mathrm{V}_{0}=\frac{\mathrm{V}_{1}}{\mathrm{CM}}.
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Énoncé
Un prix a augmenté de 20\:\% et vaut maintenant 36 \:€.
Quel était le prix initial ?
Quel était le prix initial ?
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Corrigé
Le coefficient multiplicateur associé à cette évolution est \mathrm{CM}=1+\frac{20}{100}=1{,}2. On a donc \mathrm{V}_{0}=\frac{36}{1{,}2}=30.
Le prix initial valait 30\:€.
Le prix initial valait 30\:€.
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Exercice 27
Un modèle de four coûte 1 \:200\:€ après une réduction de 40\:\%. Quel était son prix initial ?
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Exercice 28
Après une diminution de 30\:\%, un village compte
désormais 777 habitants. Quelle était la population de
départ ?
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Exercice 29
Un prix Toutes Taxes Comprises est de 240\:€.
Sachant que la TVA sur ce prix est de 20\:\%, quel était le prix Hors Taxes ?
Sachant que la TVA sur ce prix est de 20\:\%, quel était le prix Hors Taxes ?
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Exercice 30
Par combien faut-il diviser une quantité augmentée de 25\:\% pour obtenir la quantité de départ ?
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3Calculer l'évolution connaissant \bm{\text{V}_{0}} et \bm{\text{V}_{1}}
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Lorsque \mathrm{V}_{0} \neq 0, on a t=\frac{\mathrm{V}_{1}-\mathrm{V}_{0}}{\mathrm{~V}_{0}}.
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Énoncé
Entre 2018 et 2019, le chiffre d'affaires d'un magasin est passé de 500\:000\:€ à 550\:000\:€. Quelle
évolution en pourcentage cela représente-t-il ?
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Corrigé
On a t=\frac{550\:000-500\:000}{500\:000}=0{,}1=10 \:\%.
Cette évolution représente donc une augmentation de 10 \:\%.
Cette évolution représente donc une augmentation de 10 \:\%.
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Exercice 31
Un article est passé de 80 \:€ à 100 \:€. Quel est le
taux d'évolution en pourcentage de cet article ?
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Exercice 32
On estime que la population mondiale est passée de 4\:079\:480\:000 individus en 1975 à 7 \:794\:800\:000 individus en 2020. En utilisant la calculatrice, déterminer l'évolution, en pourcentage arrondi à 0{,}001\:\% près, de la population mondiale entre 1975 et 2020.
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Exercice 33
Le tarif d'une cantine passe de 5 \:€ à 4{,}50 \:€. Calculer l'évolution de ce tarif en pourcentage.
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Exercice 34
Un acteur maigrit de 70 kg à 60 kg pour un rôle.
Quelle est l'évolution en pourcentage de sa masse ?
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Exercice 35
Une quantité diminue de 500 à 400.
Quel est le taux d'évolution en pourcentage ?
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4Calculer un indice
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En économie, on utilise souvent une période de référence (année, mois, jour, etc.) à laquelle on fait correspondre un nombre appelé indice, choisi arbitrairement. Les valeurs correspondantes des autres années sont obtenues par proportionnalité, et donc en utilisant la règle du produit en croix.
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Énoncé
Le prix d'un vêtement est passé de 50 \:€ à 30 \:€ entre juin 2020 et juillet 2020.
Sachant que l'indice du prix de ce vêtement était fixé à 100 en juin 2020, quel est son indice en juillet 2020 ?
Sachant que l'indice du prix de ce vêtement était fixé à 100 en juin 2020, quel est son indice en juillet 2020 ?
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Corrigé
On a le tableau de proportionnalité suivant.
On calcule : x=\frac{100 \times 30}{50}=60.
L'indice du prix du vêtement, en juillet 2020, vaut 60.
| Juin 2020 | Juillet 2020 | |
|---|---|---|
| Prix | 50 \: € | 30 \: € |
| Indice | 100 | x |
On calcule : x=\frac{100 \times 30}{50}=60.
L'indice du prix du vêtement, en juillet 2020, vaut 60.
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Exercice 36
Voici l'évolution du prix d'un timbre.
En prenant pour indice de base 100 le prix en 2017, calculer l'indice du prix des timbres sur ces années.
Les résultats seront arrondis au dixième près.
| Année | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| Prix (€) | 0{,}80 | 0{,}85 | 0{,}95 | 1{,}05 |
En prenant pour indice de base 100 le prix en 2017, calculer l'indice du prix des timbres sur ces années.
Les résultats seront arrondis au dixième près.
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Exercice 37
L'indice du prix des pommes de terre (base 100 en 2018) est passé à 140 en 2019. Le kilogramme de pomme de terre valait 1{,}80\:€ en 2019.
Quel était le prix en 2018 ? On pourra donner la réponse sous la forme d'une fraction simplifiée.
Quel était le prix en 2018 ? On pourra donner la réponse sous la forme d'une fraction simplifiée.
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5Calculer un taux d'évolution global
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On considère une grandeur subissant différentes évolutions successives de t_1\:\%, de t_2 \:\%, …, de t_n\:\%, associées aux
coefficients multiplicateurs \text{CM}_{1}, \text{CM}_{2}, …, \text{CM}_{\text{n}} . On cherche
à synthétiser l'ensemble de ces évolutions en une seule
évolution dont on souhaite connaître le taux t\:\%.
On procède en deux étapes :
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On procède en deux étapes :
- on calcule le coefficient multiplicateur global \mathrm{CM}_{\text {global }}=\mathrm{CM}_{1} \times \mathrm{CM}_{2} \times \ldots \times \mathrm{CM}_{n} ;
- on en déduit la valeur de t grâce à la formule t=\mathrm{CM}_{\text {global }}-1.
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Énoncé
Un article subit une baisse de 20\:\% suivie d'une seconde baisse de 10\:\%. Quel est le taux d'évolution global du prix de cet article ?
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Corrigé
- On calcule \mathrm{CM}_{\text {global }}=\mathrm{CM}_{1} \times \mathrm{CM}_{2}=0{,}8 \times 0{,}9=0{,}72.
- On en déduit que t=\mathrm{CM}_{\text {olobal }}-1=0{,}72-1=-0{,}28.
Donc le taux d'évolution global est de -28\:\%.
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Exercice 38
Un prix augmente de 20 \:\% puis baisse de 30 \:\%.
Quelle est l'évolution globale de ce prix ?
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Exercice 39
Est-ce qu'une baisse de 14\:\% compense une hausse de 14\:\% ?
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Exercice 40
Un prix a été diminué de 10\:\% puis de 20\:\%. Quel est son pourcentage total de diminution ?
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Exercice 41
Une quantité diminue de 50\:\% puis augmente de
30\:\%. Quel est le taux d'évolution global ?
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6Calculer le taux d'évolution réciproque
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Lorsqu'on a une évolution d'une valeur initiale \text{V}_{0} vers une valeur finale \text{V}_{1}, le taux d'évolution réciproque est celui qui permet d'obtenir \text{V}_{0} à partir de \text{V}_{1}.
Comme \mathrm{V}_{0} \times \mathrm{CM}=\mathrm{V}_{1}, alors on a \mathrm{V}_{1} \times \frac{1}{\mathrm{CM}}=\mathrm{V}_{0}.
Ainsi, le taux d'évolution réciproque s'obtient à partir du coefficient multiplicateur réciproque : \mathrm{CM}_{\text {recip }}=\frac{1}{\mathrm{CM}} et t_{\text {recip }}=\mathrm{CM}_{\text {recip }}-1=\frac{1}{\mathrm{CM}}-1.
Comme \mathrm{V}_{0} \times \mathrm{CM}=\mathrm{V}_{1}, alors on a \mathrm{V}_{1} \times \frac{1}{\mathrm{CM}}=\mathrm{V}_{0}.
Ainsi, le taux d'évolution réciproque s'obtient à partir du coefficient multiplicateur réciproque : \mathrm{CM}_{\text {recip }}=\frac{1}{\mathrm{CM}} et t_{\text {recip }}=\mathrm{CM}_{\text {recip }}-1=\frac{1}{\mathrm{CM}}-1.
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Énoncé
Le chiffre d'affaires d'une entreprise a diminué de 20\:\% en 2020. Quelle évolution doit-il subir en 2021 pour revenir au niveau initial ?
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Corrigé
On a \mathrm{CM}_{\text {recip }}=\frac{1}{\mathrm{CM}}=\frac{1}{1-\frac{20}{100}}=1{,}25.
D'où t_{\text {recip }}=\mathrm{CM}_{\text {recip }}-1=0{,}25=25 \:\%.
Il faudrait donc que le chiffre d'affaires augmente de 25\:\% en 2021 pour qu'il revienne à son niveau d'origine.
D'où t_{\text {recip }}=\mathrm{CM}_{\text {recip }}-1=0{,}25=25 \:\%.
Il faudrait donc que le chiffre d'affaires augmente de 25\:\% en 2021 pour qu'il revienne à son niveau d'origine.
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Exercice 42
Une diminution de 50\:\% est compensée par une augmentation de :
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Exercice 43
Le prix d'un article a augmenté de 25\:\%. Quel taux d'évolution doit-on lui appliquer pour revenir au prix initial ?
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah