Calculer \text{A}=\frac{4}{8}+\frac{7}{8} \times \frac{6}{5} et simplifier le résultat au maximum.

\mathrm{A}=\frac{4}{8}+\frac{7 \times 6}{8 \times 5}=\frac{4 \times 5}{8 \times 5}+\frac{7 \times 6}{8 \times 5}=\frac{20}{40}+\frac{42}{40}=\frac{20+42}{40}=\frac{62}{40}.

Donc \mathrm{A}=\frac{\not 2 \times 31}{\not 2 \times 20}=\frac{31}{20}

Simplifier au maximum les fractions suivantes.

1. \frac{70}{105}

2. \frac{-27}{15}

3. \frac{12}{24}

4. \frac{100}{-20}

Calculer et simplifier au maximum les valeurs suivantes.

1. \text{A}=\frac{3}{5}-\frac{6}{2}

2. \text{B}=\frac{5}{21}+\frac{3}{7}

3. \text{C}=\frac{8}{3}-\frac{15}{7}

Calculer et simplifier au maximum les valeurs suivantes.

1. \mathrm{D}=\frac{9}{3}-5

2. \mathrm{E}=\frac{8}{15}-\frac{4}{5}

3. \mathrm{F}=3-\frac{7}{17}

Calculer et simplifier au maximum les valeurs suivantes.

1. \text{G}=\frac{3}{5} \times \frac{6}{2}

2. \mathrm{H}=\frac{15}{32} \times \frac{24}{5}

3. \text{I}=\frac{2}{5} \times \frac{5}{2}

Calculer et simplifier au maximum les valeurs suivantes.

1. \text{J}=\frac{8}{3} \div \frac{4}{11}

2. \mathrm{K}=3 \div \frac{6}{15}

3. \mathrm{L}=\frac{5}{3} \div \frac{2}{50}

4. \mathrm{M}=\frac{2}{9} \div 4

5. \mathrm{N}=\frac{6}{62} \div \frac{8}{93}

6. \mathrm{P}=\frac{1}{3} \div \frac{1}{20}

Calculer et écrire les fractions suivantes sous la forme de fractions irréductibles, c'est-à-dire qu'on ne peut plus simplifier.

1. \mathrm{Q}=\frac{3}{4}-\frac{6}{4} \times \frac{8}{42}

2. \mathrm{R}=\frac{1}{9}+\frac{2}{9} \times\left(-\frac{27}{5}\right)

3. \mathrm{S}=\left(\frac{2}{12}+\frac{3}{6}\right) \times\left(\frac{7}{10}-\frac{16}{5}\right)

4. \mathrm{T}=\left(\frac{8}{15}-\frac{10}{25}\right) \times\left(\frac{1}{8}-\frac{4}{5}\right)

Comparer les nombres suivants.
1. \frac{8}{15} et \frac{8}{25}.

2. -\frac{6}{5} et \frac{12}{2}.

3. \frac{-60}{52} et -\frac{63}{52}.

4. \frac{5}{3} et \frac{10}{11}.

1. \frac{8}{15} et \frac{8}{25} sont positives et ont le même numérateur.

La plus petite des deux est celle qui a le dénominateur le plus grand : \frac{8}{25}\lt\frac{8}{15}.

2. -\frac{6}{5} est un nombre négatif et \frac{12}{2} est un nombre positif.

On a donc nécessairement -\frac{6}{5}\lt\frac{12}{2}, sans avoir à comparer ni les numérateurs, ni les dénominateurs.

3. \frac{-60}{52}=-\frac{60}{52} et -\frac{63}{52} sont négatives.

On a \frac{60}{52}\lt\frac{63}{52} donc -\frac{60}{52}>-\frac{63}{52}.

4. \frac{5}{3}=\frac{10}{6} est maintenant écrite avec le même numérateur que \frac{10}{11}.

On a \frac{10}{11}\lt\frac{10}{6}, donc \frac{10}{11}\lt\frac{5}{3}.

Comparer sans calculatrice les nombres suivants.

1. \frac{9}{20} et \frac{7}{20}.

2. \frac{12}{30} et \frac{18}{30}.

3. -\frac{5}{20} et -\frac{7}{20}.

Comparer sans calculatrice les nombres suivants.

1. \frac{8}{15} et \frac{5}{15}.

2. -\frac{8}{15} et -\frac{5}{15}.

3. \frac{8}{-15} et \frac{3}{15}.

Comparer sans calculatrice les nombres suivants.

1. \frac{7}{32} et \frac{7}{38}.

2. \frac{15}{251} et \frac{15}{87}.

3. -\frac{54}{120} et -\frac{54}{220}.

Comparer sans calculatrice les nombres suivants.

1. \frac{9}{15} et \frac{2}{5}.

2. -\frac{18}{60} et -\frac{2}{6}.

3. \frac{4}{3} et \frac{62}{60}.

Écrire les nombres suivants sous la forme a^n, où a désigne un réel et n un entier relatif.

1. 51^{2} \times 51^{-5}

2. \frac{1}{4^{2} \times 4^{10}}

3. \frac{3^{6} \times 3^{-2}}{3^{5}}

4. \left(4^{2}\right)^{4}

5. \frac{9^{4}}{3^{4}}

6. 5^{9} \times 3^{9}

7. \frac{6^{2} \times 4^{2}}{2^{2}}

8. \frac{10^{10}}{10}

1. 51^{2} \times 51^{-5}=51^{2+(-5)}=51^{-3}

2. \frac{1}{4^{2} \times 4^{10}}=\frac{1}{4^{2+10}}=\frac{1}{4^{12}}=4^{-12}

3. \frac{3^{6} \times 3^{-2}}{3^{5}}=\frac{3^{6+(-2)}}{3^{5}}=\frac{3^{4}}{3^{5}}=3^{4-5}=3^{-1}

4. \left(4^{2}\right)^{4}=4^{2 \times 4}=4^{8}

5. \frac{9^{4}}{3^{4}}=\left(\frac{9}{3}\right)^{4}=3^{4}

6. 5^{9} \times 3^{9}=(5 \times 3)^{9}=15^{9}

7. \frac{6^{2} \times 4^{2}}{2^{2}}=\left(\frac{6 \times 4}{2}\right)^{2}=12^{2}

8. \frac{10^{10}}{10}=\frac{10^{10}}{10^{1}}=10^{10-1}=10^{9}

Écrire les nombres suivants sous la forme a^n, où a désigne un réel et n un entier relatif.

1. 6^{-3} \times\left(6^{3}\right)^{4}

2. 3^{-5} \times 9^{2}

3. 8^{2} \times 5^{2}

Écrire les nombres suivants sous la forme a^n, où a désigne un réel et n un entier relatif.

1. \frac{5^{3}}{5^{2}}

2. \frac{6^{-5}}{2^{-5}}

3. \frac{7^{-2}}{7^{-10}}

Calculer, sans calculatrice, chacun des nombres suivants.

1. 3^{7} \times 3^{-5}

2. \frac{2^{-3}}{2^{-4}}

3. \frac{0{,}7^{10} \times 2^{5}}{0{,}7^{9} \times 2^{6}}

Écrire les nombres suivants sous la forme a^n, où a désigne un réel et n un entier relatif.

1. \frac{3^{8}}{6^{8}} \times 10^{8}

2. \frac{4^{2} \times 25^{2}}{10^{2}}

3. \left(3^{-5}\right)^{3} \times 6^{-15}

Calculer, sans calculatrice, chacun des nombres suivants.

1. \left(2^{3}\right)^{2}

2. \frac{\left(7^{2}\right)^{6}}{7^{11}}

3. \frac{8^{27}}{8^{27}}

1. Écrire le nombre 6{,}022 sous la forme d'une fraction décimale.

2. Le nombre d'atomes \mathrm{N}_{\mathrm{A}} constituant une mole de matière est environ \mathrm{N}_{\mathrm{A}} \approx 6{,}022 \times 10^{23}.
Quel est l'ordre de grandeur de ce nombre ?

3. Dans l'écriture décimale de cette valeur approchée, combien y a-t-il de zéros après le dernier 2 ?

1. 6{,}022=\frac{6\:022}{1\:000}

2. L'ordre de grandeur de \mathrm{N}_{\mathrm{A}} est 10^{24}.

3. \mathrm{N}_{\mathrm{A}}=6{,}022 \times 10^{3} \times 10^{20}=6\:022 \times 10^{20}. Donc il \mathrm{y} a 20 zéros après le dernier 2.

Écrire sous la forme décimale le résultat du calcul suivant : 3 \times 10^{3}+6 \times 10^{2}+4+5 \times 10^{-1}.

Donner l'écriture scientifique des nombres suivants.

1. 53 \times 10^{4}

2. 15\:632\:000\:000

3. 0{,}000\:25

Compléter l'expression 156 \times 10^{-47}=1{,}56 \times 10^{\cdots}.

La distance Terre-Lune est estimée à 3{,}844 \times 10^{5} km. Donner l'écriture décimale de ce nombre.

Donner les nombres suivants sous la forme décimale, puis sous la forme d'une fraction irréductible.

1. 3{,}2 \times 10^{-5}

2. \frac{25}{10\:000}

3. 860 \times 10^{-3}

Donner un ordre de grandeur de 1998 \times 399.

1. Les Anglo-saxons utilisent les cups comme unité de volume : 1 cup =235 mL. Dans une recette, un restaurateur utilise neuf cups d'eau. Quel volume d'eau, en m³, utilise-t-il ? On écrira le résultat sous forme scientifique.

2. La superficie de la ville de Nantes est de 65{,}19 km². Convertir cette superficie en m².

3. Le périmètre intérieur d'une piste d'athlétisme est de 400 m. Convertir en cm.

1. \begin{aligned} 9 \times 235 \mathrm{~mL} &=2\:115 \mathrm{~mL}=2{,}115 \mathrm{~L}=2{,}115 \mathrm{~dm}^{3} \\ &=0{,}002\:115 \mathrm{~m}^{3}=2{,}115 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3} \end{aligned}

2. 65{,}19 \mathrm{~km}^{2}=6\:519 \mathrm{~hm}^{2}=65\:190\:000 \mathrm{~m}^{2}

3. 400 \mathrm{~m}=400 \times 100 \mathrm{~cm}=40\:000 \mathrm{~cm}

Exprimer en mètre :
1. la taille du virus de la grippe : environ 100 millionièmes de millimètre ;

2. la taille d'un frelon européen : 2{,}8 cm ;

3. la hauteur du Burj Khalifa : 82{,}8 dam.

Exprimer en m² :
1. la superficie du lac d'Annecy : 27{,}59 km² ;

2. la surface officielle d'un terrain de badminton : 8\:174 dm² ;

3. la surface d'une carte Nano SIM : 108{,}24 mm².

Exprimer en m³ :
1. le volume d'eau du lac Léman : 89 km³ ;

2. le volume d'un sac de copeaux de bois : 50 L ;

3. le volume d'un dé à coudre : 2 cm³.

Les résultats seront arrondis à 10^{-3}.

1. Exprimer, en cL, le volume d'une balle de tennis de table de diamètre 40 mm.

2. Exprimer, en cL, le volume d'une balle de tennis de diamètre 6{,}5 cm.

Les préfixes micro- et nano- correspondent respectivement à 10^{-6} et 10^{-9}.

1. Convertir en nanomètre (nm) la taille du Virus d'Immunodéficience Humaine (responsable du SIDA) : 1{,}2 \times 10^{-7} m.

2. Convertir en micromètre (\mum) la taille de la bactérie Epulopiscium fishelsoni qui est de 7{,}5 \times 10^{-4} m.

L'escargot le plus rapide jamais évalué a effectué une course à la vitesse de 27{,}5 mm/s en 2006. Convertir cette vitesse en m/h.

1. Convertir en m/s les vitesses suivantes
a. 30 km/h

b. 50 km/h

c. 90 km/h

d. 130 km/h

2. On estime la vitesse du son à 1\:230 km/h. Convertir cette vitesse en m/s.

Le record de vitesse animale est détenu par le faucon pèlerin, à 389 km/h. Convertir cette vitesse en m/s.

Les préfixes méga-, giga- et téra- signifient respectivement 10^6, 10^9 et 10^{12}. Un ordinateur a une mémoire de 5 To (téraoctets). Combien d'octets y a-t-il dans sa mémoire ?

Résoudre dans \R les équations suivantes.

1. 7-2 x=0

2. 8 x+2=58

3. 9-3 x=-6

4. 3 x-1=-2 x+19

5. 7 x-2=8-3 x

Résoudre dans \R les inéquations suivantes.

1. 5 x-15\lt 0

2. 8-4 x \geqslant 4

3. 12-2 x \leqslant 10

4. 6 x+5 \geqslant 2 x-7

5. 7-x>6 x-7

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite d'équation y=4 x+2 avec l'axe des abscisses ?

Quel est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles 2 x+6 est négatif ?

Étudier le signe de f(x)=6(x-5)(3 x+1).

Étudier le signe de g(x)=-2(7-2 x)(x+10).

Étudier le signe de h(x)=20(x-2)(x+2).

Étudier le signe de k(x)=-13(x+1)^{2}.

Pour isoler une variable dans une égalité ou une inégalité, on s'attachera à appliquer les opérations inverses jusqu'à l'isoler complètement. Pour savoir dans quel ordre on enlève les opérations, il suffit de suivre l'ordre inverse de celui dans lequel elles ont été faites.

Dans le cas d'une inégalité, il faut penser à changer le sens de l'inégalité lorsqu'on multiplie ou lorsqu'on divise par un nombre strictement négatif.

Pour appliquer une formule, en particulier dans une autre discipline que les mathématiques, on remplace chaque lettre par la quantité qu'elle représente, convertie dans la bonne unité. Cela se fait souvent après avoir isolé la bonne variable : on exprime celle qu'on est en train de calculer en fonction des autres.

L'énergie cinétique \mathrm{E}_{c}, en joule, d'un objet en mouvement est exprimée en fonction de la masse m, en kg, et de sa vitesse v, en m/s, par la relation : \mathrm{E}_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2} m v^{2}.

Exprimer la vitesse de l'objet en fonction de sa masse et de son énergie cinétique.

Dans le membre de gauche, v est mis au carré, puis multiplié par m et par \frac{1}{2} . On va isoler la variable v dans la formule.

m v^{2}=2 \mathrm{E}_{c} (On a multiplié les deux membres par 2.)

v^{2}=\frac{2 \mathrm{E}_{c}}{m} (On a divisé les deux membres par m.)

v=\sqrt{\frac{2 \mathrm{E}_{c}}{m}} ou v=-\sqrt{\frac{2 \mathrm{E}_{c}}{m}} . Or v est une vitesse, elle doit être positive.

D'où v=\sqrt{\frac{2 \mathrm{E}_{c}}{m}}.

Isoler \text{I} dans l'égalité \mathrm{U}=\mathrm{RI} (les autres variables sont supposées non nulles).

Soient x et y deux nombres réels tels que 6-2 x \leqslant 4 y. Isoler x dans cette inégalité.

L'énergie potentielle de pesanteur, en joule (J), d'un objet s'exprime en fonction de sa masse m, en kilogramme, de son altitude h, en mètre, et de la pesanteur g=9{,}81 N/kg par la relation : \mathrm{E}_{p p}=m g h.

1. Quelle est l'énergie potentielle de pesanteur d'un objet de 8 kg situé à 1\:000 m d'altitude ?

2. Isoler m dans l'égalité \mathrm{E}_{p p}=m g h.

3. Quelle est la masse d'un objet situé à 1\:000 m d'altitude dont l'énergie potentielle de pesanteur vaut 49\:050 J ?

L'aire d'une sphère de rayon \mathrm{R} est \mathrm{A}=4 \pi \mathrm{R}^{2}.
Isoler \text{R}.

Soit t un réel strictement positif. Isoler x dans l'inégalité t(3-x)>7.

Soit \mathrm{A}=(2 x-3)(x+1)-(x+1)^{2}.

1. Développer \text{A}.

2. Factoriser \text{A}.

3. Factoriser x^{2}-9.

1. \mathrm{A}=2 x^{2}+2 x-3 x-3-\left(x^{2}+2 x+1\right)=x^{2}-3 x-4

2. \mathrm{A}=(x+1) \times[(2 x-3)-(x+1)]=(x+1) \times(x-4)

3. x^{2}-9=x^{2}-3^{2}=(x+3)(x-3) d'après la troisième identité remarquable.

Développer et réduire (1-2 x)^{2}, (t+6)^{2} et (4+2 x)(-2 x+4).

Développer et réduire \mathrm{A}=(x+5)(x+3) et \mathrm{B}=(2 x-1)(6+x).

Développer et réduire l'expression \mathrm{C}=(x-7)(3+x)-(x-7)(2 x-5).

Factoriser \mathrm{A}=x^{2}-10 x+25, \mathrm{B}=24 x+16 x^{2}+9 et \mathrm{C}=81 t^{2}-49.

Factoriser l'expression \mathrm{D}=3 x(x+5)-(x+5)^{2}.

Factoriser \mathrm{E}=(x-10)(3+t)-(x-10)^{2}.