On considère la représentation graphique de la fonction f représentée ci-dessous sur l'intervalle [-6 \:; 16].

On considère une fonction f dont on a tracé la représentation graphique dans un repère.

• Les solutions de l'équation f(x)=k sont les antécédents du nombre k par la fonction f.
• Les solutions de l'inéquation f(x)\lt k sont les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est strictement inférieure à k, c'est-à-dire l'ensemble des abscisses des points de la courbe qui sont en-dessous de la droite horizontale d'équation y=k.
• Les solutions de l'inéquation f(x)>k sont les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est strictement supérieure à k, c'est-à-dire l'ensemble des abscisses des points de la courbe qui sont au-dessus de la droite horizontale d'équation y=k.

L'ensemble des solutions d'une équation ou d'une inéquation, lorsqu'elles existent, est un ensemble fini, un intervalle ou une réunion d'intervalles.

On donne la courbe d'une fonction f définie sur [-3\: ; 3].

1. Déterminer le signe d'une fonction, c'est-à-dire les valeurs de la variable (souvent x ) pour lesquelles cette fonction est positive, négative ou nulle.

• « f(x)=0 » équivaut à « la courbe représentative de f coupe l'axe des abscisses en x ».
• « f(x)\lt 0 sur un intervalle \text{I} » équivaut à « la courbe représentative de f est située en dessous de l'axe des abscisses pour tout x de l'intervalle \text{I} ».
• « f(x)>0 sur un intervalle \text{I} » équivaut à « la courbe représentative de f est située au-dessus de l'axe des abscisses pour tout x de l'intervalle \text{I} ».

On résume les différents cas dans un tableau de signe, comme dans l'exercice ci-dessous.

2. Déterminer les variations d'une fonction, c'est déterminer les intervalles sur lesquels cette fonction est croissante ou décroissante. Il faut alors observer quand la courbe « monte » ou " descend » (en l'étudiant de gauche à droite). On résume les différentes variations d'une fonction dans un tableau de variations.

• Dans la première ligne, on présente seulement les abscisses des points correspondant soit à l'ensemble de définition, soit à un changement de variations, soit aux valeurs interdites.
• Dans la deuxième ligne, chaque intervalle est associé à une flèche montante ou descendante traduisant la stricte monotonie de la fonction sur cet intervalle. Les extrémités des flèches représentent :
  • ❯ soit les valeurs de x pour lesquelles la fonction n'est pas définie ;
  • ❯ soit les valeurs de x pour lesquelles la fonction change de variation, dont les ordonnées sont appelées les « extrema locaux » (ou « extremum local » au singulier).

Soit f une fonction définie sur \text{I}. La courbe représentative de f admet une équation de la forme y=f(x).
Cela signifie que chaque point de la courbe a pour coordonnées (x \:; f(x)), où x \in \mathrm{I}.
Ainsi :

• un point \text{A} de coordonnées \left(x_{\mathrm{A}} \:; y_{\mathrm{A}}\right) appartient à la courbe représentative de f si, et seulement si, les coordonnées de \text{A} vérifient l'égalité y_{\mathrm{A}}=f\left(x_{\mathrm{A}}\right) ;
• si un point \mathrm{B} de la courbe a pour abscisse x_{\mathrm{B}}, alors son ordonnée y_{\mathrm{B}} vaut f\left(x_{\mathrm{B}}\right).

Si un point \mathrm{C} de la courbe a pour ordonnée y_{\mathrm{C}}, son abscisse est un des antécédents de y_{\mathrm{C}} par la fonction f.
Pour la déterminer, il faut résoudre l'équation f(x)=y_{\mathrm{C}} d'inconnue x.

L'équation réduite d'une droite est de la forme y=m x+p (droite non parallèle à l'axe des ordonnées) ou x=k (droite parallèle à l'axe des ordonnées).
Le nombre m est le coefficient directeur (c'est-à-dire le coefficient de proportionnalité entre la variation en ordonnée \Delta y et la variation en abscisse \Delta x ). On a m=\frac{\Delta y}{\Delta x}.
Le nombre p est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées, point qui se trouve « au-dessus » ou « en-dessous » de l'origine.
Lorsqu'on connaît l'équation réduite d'une droite non parallèle à l'axe des abscisses, on peut la tracer en utilisant l'une des méthodes suivantes.

A. En déterminant deux points distincts de cette droite

Une droite étant définie par seulement deux points, on choisit deux valeurs de x et on calcule les valeurs y correspondantes.
Chaque couple (x\: ; y) obtenu correspond aux coordonnées d'un point de la droite.

B. En déterminant un point de cette droite et en utilisant le coefficient directeur \bm m

1. Le plus simple est de trouver le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées : c'est le point de coordonnées (0 \:; p) mais on peut choisir n'importe quel autre point.

2. Partant de ce point, on avance de 1 unité en abscisse, et on se déplace de m unité(s) verticalement, vers le haut ou vers le bas, suivant le signe de m.

3. On obtient un nouveau point, et on trace la droite passant par ces deux points.

• Pour déterminer m, on utilise le fait que m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}, quels que soient les points \text{A} et \text{B} distincts sur cette droite.
• Pour trouver p, on utilise le fait que la droite coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 \: ; p).
  Si le graphique n'est pas assez précis, on calcule p à l'aide de la méthode exposée à la page suivante.

d_{1} : L'ordonnée à l'origine est 1 et le coefficient directeur est m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4-1}{1-0}=\frac{3}{1}=3 (en prenant \mathrm{A}(0 \:; 1) et \left.\mathrm{B}(1 \:; 4)\right).
Donc d_{1}: y=3 x+1.

d_{2} : L'ordonnée à l'origine est 5 et le coefficient directeur est m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3-5}{1-0}=\frac{-2}{1}=-2 (en prenant \mathrm{A}(0 \:; 5) et \left.\mathrm{B}(1 \:; 3)\right).
Donc d_{2}: y=-2 x+5.

d_{3} : La droite est parallèle à l'axe des abscisses. Tous ses points ont la même ordonnée : 2. Donc l'équation de la droite est y=2.

d_{4} : L'ordonnée à l'origine est 0 et le coefficient directeur est m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1-0}{2-0}=\frac{1}{2} (en prenant \mathrm{A}(0 \:; 0) et \mathrm{B}(2 \:; 1)).
Donc d_{4}: y=\frac{1}{2} x+0=\frac{1}{2} x.

d_{5} : Il s'agit d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées. Tous les points ont la même abscisse : 3 . Donc l'équation de la droite est x=3.

Par lecture graphique, déterminer les équations des droites d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4} et d_{5}.

1. Ici, x_{\mathrm{A}}=x_{\mathrm{B}}=3. Donc l'équation réduite de la droite (\mathrm{AB}) est x=3.

2. Ici, x_{\mathrm{C}} \neq x_{\mathrm{D}}. L'équation est de la forme y=m x+p.
On calcule : m=\frac{y_{\mathrm{D}}-y_{\mathrm{C}}}{x_{\mathrm{D}}-x_{\mathrm{C}}}=\frac{2-8}{10-4}=\frac{-6}{6}=-1.
L'équation réduite est donc de la forme y=-x+p.
En particulier, comme \mathrm{C} appartient à cette droite, y_{\mathrm{C}}=-x_{\mathrm{C}}+p donc 8=-4+p, d'où p=12.
Ainsi, l'équation réduite de la droite est y=-x+12.

3. Ici, x_{\mathrm{E}} \neq x_{\mathrm{F}}. L'équation est de la forme y=m x+p.
m=\frac{y_{\mathrm{F}}-y_{\mathrm{E}}}{x_{\mathrm{F}}-x_{\mathrm{E}}}=\frac{-140-(-15)}{55-(-20)}=\frac{-125}{75}=-\frac{5}{3}.
L'équation est donc de la forme y=-\frac{5}{3} x+p. En particulier, comme \mathrm{E} appartient à cette droite, y_{\mathrm{E}}=-\frac{5}{3} x_{\mathrm{E}}+p donc -15=-\frac{5}{3} \times(-20)+p=\frac{100}{3}+p.

D'où p=-15-\frac{100}{3}=-\frac{45}{3}-\frac{100}{3}=-\frac{145}{3}.

Ainsi, l'équation réduite de la droite est y=-\frac{5}{3} x-\frac{145}{3}.

Déterminer par le calcul les équations réduites des droites (\mathrm{AB}) et \text {(CD)}.

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