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Exercice 1Une étude mathématique de la gamme tempérée
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ÉnoncéCalculatrice autorisée
En musique, la gamme tempérée se définit par un système d'accords qui divise l'octave en intervalles fréquentiels égaux. Le découpage le plus répandu comporte 12 demi-tons, chacun séparé d'un intervalle. Il s'impose à partir du XVIIe siècle avec l'usage plus popularisé du clavecin. L'écart de fréquences entre deux notes successives est‑il constant ?
Doc. 1
L'octave
Il s'agit du plus petit intervalle qui sépare deux notes de même nom, tels que les deux do
représentés sur la portée ci-dessus.
L'audition humaine perçoit comme semblables deux notes séparées d'un octave. Math ématiquement, ces notes de fréquence f_{1} et f_{2} sont reliées par la relation : f_{2} = 2 f_{1} où f_{2} est la fréquence de la note la plus aiguë.
L'audition humaine perçoit comme semblables deux notes séparées d'un octave. Math ématiquement, ces notes de fréquence f_{1} et f_{2} sont reliées par la relation : f_{2} = 2 f_{1} où f_{2} est la fréquence de la note la plus aiguë.
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Doc. 2
Fréquences fondamentales des notes de la quatrième octave|
Note | Do | Do# | Ré | Ré# | M\hspace{-1.5px}i | F\hspace{-1.5px}a | F\hspace{-1.5px}a# | Sol | Sol# | La | La# | Si |
|
f (Hz) | 523 | 550 | 587 | 622 | 660 | 698 | 740 | 784 | 831 | 880 | 932 | 988 |
1. Déterminer les fréquences des deux notes de fréquences extrêmes de la cinquième octave.
2. On note r le rapport des fréquences entre deux demi-tons. « Monter d'un demi-ton » équivaut à « multiplier la fréquence par r ». Si f_{1} est la fréquence d'une note donnée, en déduire f_{12} qui est sa note à l'octave, en fonction de f_{1} et de r.
2. On note r le rapport des fréquences entre deux demi-tons. « Monter d'un demi-ton » équivaut à « multiplier la fréquence par r ». Si f_{1} est la fréquence d'une note donnée, en déduire f_{12} qui est sa note à l'octave, en fonction de f_{1} et de r.
3. Déterminer alors la valeur numérique de r en utilisant la relation entre deux notes séparées d'une octave. Vérifier par le calcul cette valeur de r sur un intervalle de la quatrième octave.
4. La gamme tempérée se caractérise par des intervalles chromatiques égaux. Cela suppose-t-il que les écarts de fréquences \Delta f=f_{2}-f_{1} entre deux demi-tons sont constants ? Justifier.
4. La gamme tempérée se caractérise par des intervalles chromatiques égaux. Cela suppose-t-il que les écarts de fréquences \Delta f=f_{2}-f_{1} entre deux demi-tons sont constants ? Justifier.
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Résolution
1. Le document 2 indique les fréquences des notes
extrêmes de la quatrième octave : do et si de la quatrième octave. D'après le document 1, il faut multiplier par deux les fréquences de ces deux notes pour obtenir les fréquences des notes extrêmes de la cinquième octave.
2. On détermine f_{2} par :
On en déduit : f_{12}=r^{12} \cdot f_{r}
3. Il faut combiner les relations f_{12}=r^{12} \cdot f_{1} et f_{12}=2 f_{1} pour obtenir la valeur de r.
Résultat : r^{12} \cdot f_{1}=2 f_{1} soit r^{12}=2 et r=\sqrt[12]{2}.
Vérification de la quatrième octave :
f(mi) / f(ré#) = 660 / 622 = 1,06 =\sqrt[12]{2}.
4. On peut calculer les écarts successifs entre deux demi-tons de la quatrième octave (f(do#) - f(do), etc.) pour constater que les écarts ne sont pas constants. Dire que « les intervalles chromatiques sont constants » implique donc que les rapports de fréquences entre demi-tons sont constants (f_{2}/f_{1}) = r et non pas les écarts de fréquences.
2. On détermine f_{2} par :
- f_{2}=r \cdot f_{1}
- f_{3}=r \cdot f_{2}=r \cdot r \cdot f_{1}=r^{2} \cdot f_{1}
On en déduit : f_{12}=r^{12} \cdot f_{r}
3. Il faut combiner les relations f_{12}=r^{12} \cdot f_{1} et f_{12}=2 f_{1} pour obtenir la valeur de r.
Résultat : r^{12} \cdot f_{1}=2 f_{1} soit r^{12}=2 et r=\sqrt[12]{2}.
Vérification de la quatrième octave :
f(mi) / f(ré#) = 660 / 622 = 1,06 =\sqrt[12]{2}.
4. On peut calculer les écarts successifs entre deux demi-tons de la quatrième octave (f(do#) - f(do), etc.) pour constater que les écarts ne sont pas constants. Dire que « les intervalles chromatiques sont constants » implique donc que les rapports de fréquences entre demi-tons sont constants (f_{2}/f_{1}) = r et non pas les écarts de fréquences.
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