Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Cours 3
Repère de l'espace
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
ACoordonnées d'un point de l'espace
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Un repère de l'espace est défini par la donnée d'un point \text{O} de l'espace et d'une base ( \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ) de l'espace.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
On note alors le repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
On considère un repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ).
Pour tout point \text{M} de l'espace, il existe un unique triplet de réels ( x \ ; \ y \ ; \ z) tel que \overrightarrow{\text{OM}} = x \vec{i} + y \vec{j} + z\vec{k}.
x, y et z sont les coordonnées de \text{M} dans le repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ).
Pour tout point \text{M} de l'espace, il existe un unique triplet de réels ( x \ ; \ y \ ; \ z) tel que \overrightarrow{\text{OM}} = x \vec{i} + y \vec{j} + z\vec{k}.
x, y et z sont les coordonnées de \text{M} dans le repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ).
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
On note \text{M} (x \ ; \ y \ ; \ z). x est appelé l'abscisse de \text{M}, y l'ordonnée et z la cote.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
BOpérations sur les coordonnées
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
L'espace est rapporté à un repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
On considère les points \text{A} (x_\text{A} \ ; \ y_\text{A} \ ; \ z_\text{A}) et \text{B} (x_\text{B} \ ; \ y_\text{B} \ ; \ z_\text{B}).
Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{AB}} sont \left(\begin{array}{l} x_{B}-x_{A} \\ y_{B}-y_{A} \\ z_{B}-z_{A} \end{array}\right) .
Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{AB}} sont \left(\begin{array}{l} x_{B}-x_{A} \\ y_{B}-y_{A} \\ z_{B}-z_{A} \end{array}\right) .
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
On dit indifféremment « coordonnées
d'un vecteur dans
une base » ou
« coordonnées d'un
vecteur dans un
repère ».
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}.
Ainsi \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-x_{\mathrm{A}} \vec{i}-y_{A} \vec{j}-z_{\mathrm{A}} \vec{k}+x_{\mathrm{B}} \vec{i}+y_{\mathrm{B}} \vec{j}+z_{\mathrm{B}} \vec{k}=\left(x_{\mathrm{B}}-x_{A}\right) \vec{i}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{A}\right) \vec{j}+\left(z_{\mathrm{B}}-z_{A}\right) \vec{k}.
Ainsi \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-x_{\mathrm{A}} \vec{i}-y_{A} \vec{j}-z_{\mathrm{A}} \vec{k}+x_{\mathrm{B}} \vec{i}+y_{\mathrm{B}} \vec{j}+z_{\mathrm{B}} \vec{k}=\left(x_{\mathrm{B}}-x_{A}\right) \vec{i}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{A}\right) \vec{j}+\left(z_{\mathrm{B}}-z_{A}\right) \vec{k}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Pour les
deux premières coordonnées, on retrouve
les formules apprises
dans le plan.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
On considère les points \text{A} (x_\text{A} \ ; \ y_\text{A} \ ; \ z_\text{A}) et \text{B} (x_\text{B} \ ; \ y_\text{B} \ ; \ z_\text{B}).
Les coordonnées du milieu \text{I} de [\text{AB}] sont \left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2} ; \frac{y_{A}+y_{B}}{2} ; \frac{z_{A}+z_{B}}{2}\right).
Les coordonnées du milieu \text{I} de [\text{AB}] sont \left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2} ; \frac{y_{A}+y_{B}}{2} ; \frac{z_{A}+z_{B}}{2}\right).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
\text{I} est le milieu de [\text{AB}]. Ainsi \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}} et donc \overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Ainsi, \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AO}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{AO}} d'où
\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{1}{2}\left(x_{A} \vec{i}+y_{A} \vec{j}+z_{A} \vec{k}\right)+\frac{1}{2}\left(x_{\mathrm{B}} \vec{i}+y_{\mathrm{B}} \vec{j}+z_{\mathrm{B}} \vec{k}\right)
\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2} \vec{i}+\frac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2} \vec{j}+\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2} \vec{k}. Donc \text{I} \left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2} ; \frac{y_{A}+y_{B}}{2} ; \frac{z_{A}+z_{B}}{2}\right).
Ainsi, \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AO}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{AO}} d'où
\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{1}{2}\left(x_{A} \vec{i}+y_{A} \vec{j}+z_{A} \vec{k}\right)+\frac{1}{2}\left(x_{\mathrm{B}} \vec{i}+y_{\mathrm{B}} \vec{j}+z_{\mathrm{B}} \vec{k}\right)
\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2} \vec{i}+\frac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2} \vec{j}+\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2} \vec{k}. Donc \text{I} \left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2} ; \frac{y_{A}+y_{B}}{2} ; \frac{z_{A}+z_{B}}{2}\right).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
\text{O} est
l'origine du repère,
donc on doit trouver
la décomposition du
vecteur \overrightarrow{\text{OI}} en fonction de \vec{i}, \vec{j} et \vec{k}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemples
1. Pour \text{A} ( 1 \ ; \ -1 \ ; \ 2) et \text{B} ( 3 \ ; \ 1 \ ; \ -4), on a \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c}
3-1 \\
1-(-1) \\
-4-2
\end{array}\right) soit \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c}
2 \\
2 \\
-6
\end{array}\right).
2. Si \text{A} ( 3 \ ; \ 4 \ ; \ -4) et \text{B} ( -1 \ ; \ 6 \ ; \ 2), alors le milieu \text{I} de [\text{AB}] a pour coordonnées \left(\frac{3+(-1)}{2} ; \frac{4+6}{2} ; \frac{-4+2}{2}\right) donc \mathrm{I}(1 ; 5 ;-1).
2. Si \text{A} ( 3 \ ; \ 4 \ ; \ -4) et \text{B} ( -1 \ ; \ 6 \ ; \ 2), alors le milieu \text{I} de [\text{AB}] a pour coordonnées \left(\frac{3+(-1)}{2} ; \frac{4+6}{2} ; \frac{-4+2}{2}\right) donc \mathrm{I}(1 ; 5 ;-1).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés
On considère les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l}
x_{\vec{u}} \\
y_{\vec{u}} \\
z_{\vec{u}}
\end{array}\right), \vec{v}\left(\begin{array}{l}
x_{\vec{v}} \\
y_{\vec{v}} \\
z_{\vec{v}}
\end{array}\right)
et a un nombre réel.
1. Les coordonnées du vecteur \vec{u} + \vec{v} sont \left(\begin{array}{l} x_{\vec{u}} + x_{\vec{v}}\\ y_{\vec{u}} + y_{\vec{v}} \\ z_{\vec{u}} + z_{\vec{v}} \end{array}\right).
2. Les coordonnées du vecteur a \vec{u} sont \left(\begin{array}{l} a x_{\vec{u}}\\ a y_{\vec{u}} \\ a z_{\vec{u}} \end{array}\right).
1. Les coordonnées du vecteur \vec{u} + \vec{v} sont \left(\begin{array}{l} x_{\vec{u}} + x_{\vec{v}}\\ y_{\vec{u}} + y_{\vec{v}} \\ z_{\vec{u}} + z_{\vec{v}} \end{array}\right).
2. Les coordonnées du vecteur a \vec{u} sont \left(\begin{array}{l} a x_{\vec{u}}\\ a y_{\vec{u}} \\ a z_{\vec{u}} \end{array}\right).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
1. \vec{u}+\vec{v} =x_{\vec{u}} \vec{i}+y_{\vec{u}} \vec{j}+z_{\vec{u}} \vec{k}+x_{\vec{v}} \vec{i}+y_{\vec{v}} \vec{j}+z_{\vec{v}} \vec{k} =\left(x_{\vec{u}}+x_{\vec{v}}\right) \vec{i}+\left(y_{\vec{u}}+y_{\vec{v}}\right) \vec{j}+\left(z_{\vec{u}}+z_{\vec{v}}\right) \vec{k}
2. a \vec{u}=a\left(x_{\vec{u}} \vec{i}+y_{\vec{u}} \vec{j}+z_{\vec{u}} \vec{k}\right) = a x_{\vec{u}} \vec{i}+a y_{\vec{u}} \vec{j}+a z_{\vec{u}} \vec{k}
2. a \vec{u}=a\left(x_{\vec{u}} \vec{i}+y_{\vec{u}} \vec{j}+z_{\vec{u}} \vec{k}\right) = a x_{\vec{u}} \vec{i}+a y_{\vec{u}} \vec{j}+a z_{\vec{u}} \vec{k}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Soient les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{c}
2 \\
-3 \\
-1
\end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c}
5 \\
0 \\
-5
\end{array}\right).
Le vecteur \vec{w}=\vec{u}+3 \vec{v} a pour coordonnées \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ -5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 15 \\ 0 \\ -15 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 17 \\ -3 \\ -16 \end{array}\right).
Le vecteur \vec{w}=\vec{u}+3 \vec{v} a pour coordonnées \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ -5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 15 \\ 0 \\ -15 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 17 \\ -3 \\ -16 \end{array}\right).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 6
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Dans un repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ), on donne les points \text{E}(-1 \ ; \ 3 \ ; \ 2), \text{F}(2 \ ; \ -1 \ ; \ 3) et \text{G}(-1 \ ; \ 0 \ ; \ 1).
Déterminer les coordonnées du point \text{M} défini par \overrightarrow{\mathrm{EM}}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}+2 \overrightarrow{\mathrm{EG}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
On pose \mathrm{M}(x \: ; y \: ; z). On détermine les coordonnées
du vecteur \overrightarrow{\mathrm{EM}} en fonction de x, y
et z et des coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{EF}} et \overrightarrow{\mathrm{EG}}.
On traduit l'égalité vectorielle de l'énoncé par un système.
On traduit l'égalité vectorielle de l'énoncé par un système.
Ressource affichée de l'autre c ôté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
On pose \mathrm{M}(x \:; y \:; z).
On a \overrightarrow{\mathrm{EM}}\left(\begin{array}{c} x-(-1) \\ y-3 \\ z-2 \end{array}\right), \overrightarrow{\mathrm{EF}}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) et \overrightarrow{\mathrm{EG}}\left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right).
D'après l'égalité vectorielle, \left\{\begin{array}{l} x+1=3 \\ y-3=-4+2 \times(-3) \\ z-2=1+2 \times(-1) \end{array}\right. soit \left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=-7 \\ z=1 \end{array}\right..
On a \overrightarrow{\mathrm{EM}}\left(\begin{array}{c} x-(-1) \\ y-3 \\ z-2 \end{array}\right), \overrightarrow{\mathrm{EF}}\left(\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) et \overrightarrow{\mathrm{EG}}\left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ -1 \end{array}\right).
D'après l'égalité vectorielle, \left\{\begin{array}{l} x+1=3 \\ y-3=-4+2 \times(-3) \\ z-2=1+2 \times(-1) \end{array}\right. soit \left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=-7 \\ z=1 \end{array}\right..
Pour s'entraîner
Exercices et p. 73
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
CReprésentation paramétrique d'une droite
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
L'espace est rapporté à un repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Soit un point \text{A} (x_\text{A} \ ; \ y_\text{A} \ ; \ z_\text{A}) appartenant à une droite \Delta de vecteur directeur \vec{u}\left(\begin{array}{l}
a \\
b \\
c
\end{array}\right).
\text{M} (x \ ; \ y \ ; \ z) appartient à \Delta si, et seulement si, il existe t \in \R tel que \left\{\begin{array}{l} x=a t+x_{A} \\ y=b t+y_{A} \\ z=c t+z_{A} \end{array}\right..
\text{M} (x \ ; \ y \ ; \ z) appartient à \Delta si, et seulement si, il existe t \in \R tel que \left\{\begin{array}{l} x=a t+x_{A} \\ y=b t+y_{A} \\ z=c t+z_{A} \end{array}\right..
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
À chaque valeur de t correspond un point de \Delta.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Les
coeffcients du
paramètre t sont les
coordonnées d'un
vecteur directeur de
la droite.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
\text{M} \in \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AM}} et \vec{u} sont colinéaires \Leftrightarrow il existe un réel t \in \R tel que \overrightarrow{\text{AM}} = t \vec{u}.
Or \overrightarrow{\mathrm{AM}}\left(\begin{array}{l} x-x_{\mathrm{A}} \\ y-y_{\mathrm{A}} \\ z-z_{\mathrm{A}} \end{array}\right) donc \text{M} \in \Delta \Leftrightarrow il existe t \in \R tel que \left\{\begin{array}{l} x-x_{A}=a t \\ y-y_{A}=b t \\ z-z_{A}=c t \end{array}\right. soit \left\{\begin{array}{l} x=a t+x_{A} \\ y=b t+y_{A} \\ z=c t+z_{A} \end{array}\right..
Or \overrightarrow{\mathrm{AM}}\left(\begin{array}{l} x-x_{\mathrm{A}} \\ y-y_{\mathrm{A}} \\ z-z_{\mathrm{A}} \end{array}\right) donc \text{M} \in \Delta \Leftrightarrow il existe t \in \R tel que \left\{\begin{array}{l} x-x_{A}=a t \\ y-y_{A}=b t \\ z-z_{A}=c t \end{array}\right. soit \left\{\begin{array}{l} x=a t+x_{A} \\ y=b t+y_{A} \\ z=c t+z_{A} \end{array}\right..
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Le système d'équations \left\{\begin{array}{l}
x=a t+x_{A} \\
y=b t+y_{A} \\
z=c t+z_{A}
\end{array}\right. avec t décrivant \R est une représentation paramétrique de la droite \Delta.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Il existe
une infinité de
représentations
paramétriques d'une
droite.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 7
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
On se place dans un repère ( \text{O} \ ; \ \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \ \vec{k} ).
1. Donner une représentation paramétrique de la droite (\text{AB}) où \text{A} (1 \ ; \ -3 \ ; \ 1) et \text{B} (-1 \ ; \ 1 \ ; \ 4).
2. Les points \text{C} (-1 \ ; \ 1 \ ; \ 4) et \text{D} (2 \ ; \ 4 \ ; \ 2) appartiennent-ils à (\text{AB}) ?
1. Donner une représentation paramétrique de la droite (\text{AB}) où \text{A} (1 \ ; \ -3 \ ; \ 1) et \text{B} (-1 \ ; \ 1 \ ; \ 4).
2. Les points \text{C} (-1 \ ; \ 1 \ ; \ 4) et \text{D} (2 \ ; \ 4 \ ; \ 2) appartiennent-ils à (\text{AB}) ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
1. Le vecteur \overrightarrow{\text{AB}} est un vecteur directeur de
\text{(AB)}. On détermine alors ses coordonnées
puis on applique la définition du cours.
2. On remplace x, y et z par les coordonnées du point \text{C}. Si le système admet une solution, alors \text{C} appartient à la droite.
Sinon, il n'appartient pas à la droite.
2. On remplace x, y et z par les coordonnées du point \text{C}. Si le système admet une solution, alors \text{C} appartient à la droite.
Sinon, il n'appartient pas à la droite.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
1. \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c}
-2 \\
4 \\
3
\end{array}\right) donc, d'après le résultat du cours : \left\{\begin{array}{l}
x=-2 t+1 \\
y=4 t-3 \\
z=3 t+1
\end{array}\right. où t \in \mathbb{R}.
2. Pour C(-1 \:; 1 \:; 4), on a \left\{\begin{aligned} -1 &=-2 t+1 \\ 1 &=4 t-3 \\ 4 &=3 t+1 \end{aligned}\right. soit \left\{\begin{array}{l} t=1 \\ t=1 \\ t=1 \end{array}\right..
Le système est compatible (c'est-à-dire qu'il admet une solution) donc le point \text{C} appartient à la droite \text{(AB).}
Pour \mathrm{D}(2 \:; 4 \:; 2), on a \left\{\begin{array}{l} 2=-2 t+1 \\ 4=4 t-3 \\ 2=3 t+1 \end{array}\right. soit \left\{\begin{array}{l} t=-\frac{1}{2} \\ t=\frac{7}{4} \\ t=\frac{1}{3} \end{array}\right..
Le système n'est pas compatible, donc le point \text{D} n'appartient pas à la droite \text{(AB)}.
2. Pour C(-1 \:; 1 \:; 4), on a \left\{\begin{aligned} -1 &=-2 t+1 \\ 1 &=4 t-3 \\ 4 &=3 t+1 \end{aligned}\right. soit \left\{\begin{array}{l} t=1 \\ t=1 \\ t=1 \end{array}\right..
Le système est compatible (c'est-à-dire qu'il admet une solution) donc le point \text{C} appartient à la droite \text{(AB).}
Pour \mathrm{D}(2 \:; 4 \:; 2), on a \left\{\begin{array}{l} 2=-2 t+1 \\ 4=4 t-3 \\ 2=3 t+1 \end{array}\right. soit \left\{\begin{array}{l} t=-\frac{1}{2} \\ t=\frac{7}{4} \\ t=\frac{1}{3} \end{array}\right..
Le système n'est pas compatible, donc le point \text{D} n'appartient pas à la droite \text{(AB)}.
Pour s'entraîner
Exercices p. 73 et p. 78
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah