On considère les points \text{A}( 1 \: ; 2 \: ; 3), \text{B}( -1 \: ; 1 \: ; 4) et \text{C}( 3 \: ; 5 \: ; -2). Déterminer les coordonnées du point \text{D} telles que \text{ABCD} soit un parallélogramme.

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Flash

On considère les points \text{A}( 1 \: ; 2 \: ; 1), \text{B}( 3 \: ; -1 \: ; 2) et \text{C}( -1 \: ; 3 \: ; 4).

1. Déterminer les coordonnées du milieu de \text{[AC]}.

2. Déterminer les coordonnées de \text{D} telles que \text{ABCD} soit un parallélogramme.

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Flash

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite contenant le point \text{E}( -8 \: ; 3 \: ; 5) et de vecteur directeur \vec{i}.

2. Le point \text{F}( -6 \: ; 3 \: ; 5) appartient-il à cette droite ?

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70
[Calculer.]
Soient les points \text{A}( -1 \: ; 4 \: ; -3) et \text{B}( 2 \: ; 1 \: ; 3).
Déterminer les coordonnées de \text{M} vérifiant \overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

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71
[Représenter.]

1. Reproduire et prolonger la figure ci-dessous puis placer les points \text{A}(1 \: ; 0 \:; 2), \text{B}(1 \: ; 2 \: ; 0), \text{C}(1 \: ; 1 \: ;-2) et \mathrm{D}(1 ;-2 ; 1).

2. On considère le vecteur \vec{u}=3 \vec{i}+\vec{j}-2 \vec{k}. Construire le représentant du vecteur \vec{u} d'origine \mathrm{M}(0 \: ;-1 \: ; 1).

3. Déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{CD}}.
Que peut-on en déduire ?

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Python

[Modéliser.]
Écrire une fonction avec Python qui, connaissant les coordonnées de deux points \text{A} et \text{B} de l'espace, renvoie les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{AB}}.

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73
[Communiquer.]
Changement de repère
Soit un tétraèdre \text{ABCD}.
On note \text{I} le milieu de \text{[CD]} et \text{J} le milieu de \text{[BD]}.

1. L'espace est rapporté au repère (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}}). a. Donner les coordonnées de tous les points de la figure.

b. Exprimer le vecteur \overrightarrow{\text{BD}} dans la base (\overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}}).

2. L'espace est rapporté au repère (\mathrm{B} \: ; \overrightarrow{\mathrm{BA}} \: , \overrightarrow{\mathrm{BC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{BD}}).
Donner les coordonnées des points de la figure.

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74
[Calculer.]
On considère les points \text{A}( 0 \: ; 1 \: ; 1), \text{B}( 2 \: ; 1 \: ; 1) et \text{C}( 3 \: ; 1 \: ; 1) et \text{D}( 1 \: ; 1 \: ; 1).

1. Démontrer que \text{ABCD} est un parallélogramme.

2. Soit \text{E} le point de coordonnées ( 2 \: ; 2 \: ; 4). Déterminer les coordonnées du point \text{F} telles que \text{ACEF} soit un parallélogramme.

3. Soit \text{I} le point de l'espace tel que \text{F} soit le milieu de \text{[AI]} et \text{J} le milieu de \text{[EF]}. Démontrer que \text{J} est le milieu de \text{[IC]}.

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75
[Calculer.]

On considère les points \text{A}( 1 \: ; 1 \: ; 2) et \text{B}( -1 \: ; 3 \: ; 4) et les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right).

1. Démontrer que les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}}, \vec{u} et \vec{v} sont coplanaires.

2. Soit \text{M} le point du plan défini par \overrightarrow{\mathrm{AM}}=2 \vec{u}+4 \vec{v}.
Les points \text{A}, \text{B} et \text{M} sont-ils alignés ? Justifier.

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76
[Représenter.]
Soit \text{ABCD} un tétraèdre.
L'espace est rapporté au repère (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \: , \overrightarrow{\mathrm{AC}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}}).
On appelle \text{I} et \text{J} les milieux respectifs de \text{[DC}] et de \text{[BC}]. Soient \text{E} et \text{F} les points définis par \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AD}}.

1. Déterminer les coordonnées des points \text{I}, \text{J}, \text{E} et \text{F}.

2. Démontrer que \text{(EF)} est parallèle à \text{(IJ)}.

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77
[Chercher.]
Soient \text{A}( 1 \: ; 2 \: ; 1), \text{B}( 1 \: ; -1 \: ; 1) et \text{C}( 3 \: ; 1 \: ; 2) trois points de l'espace.
On note \text{I} le milieu de \text{[BC]}.

1. Déterminer les coordonnées du point \text{G} (centre de gravité du triangle \text{ABC}) défini par \overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AI}}.

2. On considère le point \text{E}( 3 \: ; 7 \: ; 2). Déterminer les coordonnées du point \text{F} telles que \overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}.

3. On note \text{J} le milieu de \text{[BE]}. Les points \text{G}, \text{J} et \text{F} sont-ils alignés ? Justifier.

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Python

[Modéliser.]
Expliquer la fonction Python définie ci-dessous.

Code Python: fonction col vérifiant le colinéarité de deux vecteurs. Retourne True si colinéaires, False sinon.

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80
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer une représentation paramétrique de la droite \text{(AB)}.
1. \mathrm{A}(-1 ; 5 ; 3) et \mathrm{B}(2 ; -4 ; 3).

2. \mathrm{A}(-1 ; 2 ; 1) et \mathrm{B}(3 ; 2 ; 1).

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79
[Calculer.]

Dans chacun des cas suivants, donner une représentation paramétrique de la droite passant par \text{A} et de vecteur directeur \vec{u}.

1. \mathrm{A}(-1 ; 2 ; 5) et \vec{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right).

2. \mathrm{A}(1 ; 7 ; 3) et \vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ - \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}.

3. \mathrm{A}(-1 ; 0 ; 4) et \vec{u} = \vec{k}.

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81
[Chercher.]
Soient d et d' deux droites dont on donne une représentation paramétrique :
d:\left\{\begin{array}{l} x=-2 t+3 \\ y=-3 t+1, t \in \mathbb{R} \\ z=t+2 \end{array}\right. et d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=t^{\prime}+1 \\ y=-2 t^{\prime}, t^{\prime} \in \mathbb{R} \\ z=4 \end{array}\right.

1. Pour chaque droite, donner un point et un vecteur directeur.

2. Les droites d et d' sont-elles parallèles ? Sécantes ? Justifier.

3. Que peut-on en conclure ?

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82
[Raisonner.]
Dans chaque cas, étudier la position relative des droites d et d'.

1. d:\left\{\begin{array}{l} x=-2 t+3 \\ y=-3 t+1, t \in \mathbb{R} \\ z=t+2 \end{array}\right. et d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=t^{\prime}-1 \\ y=2 t^{\prime}+2, t^{\prime} \in \R \\ z=-t^{\prime}-3 \end{array}\right..

2. d:\left\{\begin{array}{l} x=t-1 \\ y=2 t+2, t \in \mathbb{R} \\ z=-t-3 \end{array}\right. et d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=3 t^{\prime} \\ y=-2 t^{\prime}+1, t^{\prime} \in \R \\ z=t^{\prime}+1 \end{array}\right..

3. d:\left\{\begin{array}{l} x=2 t+7 \\ y=-3 t+1, t \in \mathbb{R} \\ z=6 t+2 \end{array}\right. et d^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=3 t^{\prime}-1 \\ y=-\frac{9}{2} t^{\prime}, t^{\prime} \in \mathbb{R} \\ z=9 t^{\prime}+5 \end{array}\right..

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83
[Représenter.]
Déterminer l'ensemble des points de l'espace de coordonnées (x ; y ; z) vérifiant :

1. \left\{\begin{array}{l} x=2 t-4 \\ y=t+1 \quad, t \in \mathbb{R}^{+} \\ z=-3 t+4 \end{array}\right..

2. \left\{\begin{array}{l} x=t-3 \\ y=3 t+2, t \in[-2 ; 3] \\ z=t+1 \end{array}\right..

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84
[Calculer.]

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \text{(AB)} où \mathrm{A}(1 ; -1 ; 3) et \mathrm{B}(3 ; 2 ; 4).

2. On considère le point \mathrm{E}(-5 ; 7 ; 1). Déterminer une représentation paramétrique de la droite d contenant \text{E} et parallèle à \text{(AB)}.

3. On considère le point \mathrm{F}(-1 ; 13 ; 3).
a. Justifier que \text{(AF)} et d ne sont pas parallèles.

b. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection s'il existe.

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85
[Calculer.]

Soit d la droite dont une représentation paramétrique est : \left\{\begin{array}{l} x=-t+1 \\ y=4 t-3, t \in \mathbb{R} \\ z=\frac{1}{2} t+6 \end{array}\right..

1. Donner un vecteur directeur de d.

2. Soit \mathcal{P} le plan dont un repère est (\text{A} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}) avec \text{A} (-1 \: ; 2 \: ; 5), \vec{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} -6 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right).

a. Le point \text{E}(1 \: ; 1 \: ; 1) appartient-il à ce plan ?

b. La droite d est-elle parallèle à \mathcal{P} ? Justifier.

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta contenant \text{E}, de vecteur directeur \vec{u}.
Que peut-on dire de \Delta et de \mathcal{P} ?

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86
[Chercher.]
Soient les points de l'espace suivants : \text{A}( 1 \: ; 2 \: ; -3), \text{B}( 2 \: ; 4 \: ; 1) et \text{C}( -1 \: ; 3 \: ; 2).

1. Justifier que les points \text{A}, \text{B} et \text{C} définissent un plan.

2. Soit \text{M}(x \: ; y \: ; z), un point du plan \text{(ABC)}. a. Justifier qu'il existe deux réels t et t' tels que \overrightarrow{\mathrm{AM}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t' \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

b. En déduire que \text{M} \in (\text{ABC}) si, et seulement si, \left\{\begin{array}{l} x=t-2 t^{\prime}+1 \\ y=2 t+t^{\prime}+2, \text { où } t \in \mathbb{R} \text { et } t^{\prime} \in \mathbb{R} \\ z=4 t+5 t^{\prime}-3 \end{array}\right..

c. Le point \text{E}(1 \: ; 4 \: ; -7) appartient-il au plan (\text{ABC}) ?

3. Soit d la droite dont une représentation paramétrique est \left\{\begin{array}{l} x=-k+1 \\ y=3 k+4, k \in \mathbb{R} \\ z=9 k-7 \end{array}\right..
La droite d est-elle parallèle au plan (\text{ABC}) ?

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87
[Raisonner.]

L'espace est rapporté à un repère ( \text{O} \: ; \vec{i} \: , \vec{j} \: , \vec{k}).
On considère la translation t de vecteur \vec{u}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right).
Pour tout point \text{M}(x \: ; y \: ; z) de l'espace, on note \text{M}'(x' \: ; y' \: ; z') l'image de \text{M} par la translation t.

1. Déterminer x', y' et z' en fonction de x, y et z.

2. Soit \mathcal{D} la droite de représentation paramétrique : \left\{\begin{array}{l} x=3 k+1 \\ y=2 k-2, \text { avec } k \in \mathbb{R} \\ z=4 k+2 \end{array}\right..

a. Soit \text{N} un point de \mathcal{D}.
Déterminer l'image de \text{N} par t notée \text{N}'.

b. En déduire la nature et les caractéristiques de \mathcal{D}', image de la droite \mathcal{D} par la translation t.

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88
[Communiquer.]
On considère l'énoncé suivant.
« On considère la droite \Delta dont une représentation paramétrique est \left\{\begin{array}{l} x=3 k+1 \\ y=2 k-1, \text { avec } k \in \mathbb{R} \\ z=-k+2 \end{array}\right. et la droite \Delta' dont une représentation paramétrique est \left\{\begin{array}{l} x=\sqrt{2} t+2 \\ y=\frac{2 \sqrt{2}}{3} t-1, \text { avec } t \in \mathbb{R} \\ z=\frac{\sqrt{2}}{3} t+2 \end{array}\right.. Étudier la position relative des droites \Delta et \Delta'. »
Voici la copie de Chloé.

Soit \vec{u} un vecteur directeur de \Delta.
On a \vec{u}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right).
Soit \vec{v} un vecteur directeur de \Delta'.
On a \vec{v}\left(\begin{array}{c} \sqrt{2} \\ \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{3} \end{array}\right).
Les droites \Delta et \Delta' sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs directeurs des droites sont colinéaires.
\vec{u} et \vec{v} sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel \lambda tel que \vec{u}=\lambda \vec{v}.
On résout alors le système suivant.
\left\{\begin{aligned} 3 &=\lambda \sqrt{2} \\ 2 &=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \lambda \\ -1 &=\frac{\sqrt{2}}{3} \lambda \end{aligned}\right. soit \left\{\begin{array}{l} \lambda=\frac{3}{\sqrt{2}} \\ \lambda=\frac{3}{\sqrt{2}} \\ \lambda=-\frac{3}{\sqrt{2}} \end{array}\right..
Ce système n'admet pas de solution. On en déduit que les droites ne sont pas parallèles et, par conséquent, elles sont sécantes.

Corriger ses éventuelles erreurs.

Photographie d'une personne écrivant dans un carnet sur un banc. Elle tient un stylo et plusieurs cahiers. Étude, écriture, notes.

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