Mathématiques Terminale Spécialité
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Algèbre et géométrie
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Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
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Ch. 4
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Ch. 5
Limites de fonctions
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Primitives - Équations différentielles
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Calcul intégral
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Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
TP INFO
Intersection d'un plan et d'un cube
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Énoncé
On considère le cube \text{ABCDEFGH} de côté 2 ci-contre.
On donne \overrightarrow{i}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{j}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AD}} et \overrightarrow{k}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AE}}.
On défnit les points \text{L} tel que \overrightarrow{\mathrm{FL}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{FG}} et \text{K} tel que \overrightarrow{\mathrm{GK}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{GH}}.
Le point \text{M} est un point du segment [\text{CG}].
On a \overrightarrow{\mathrm{CM}}=t \times \overrightarrow{k} avec t \in[0 \,; 2].
Questions préliminaires :
1.Justifer que (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}) est un repère orthonormé de l'espace.
2. Dans le repère (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), donner les coordonnées de tous les points de la figure ci-contre.
3. Donner, dans ce repère, les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{ML}} et \overrightarrow{\mathrm{MK}}.
4. Calculer \text {ML}, \text {MK} et \overrightarrow{\mathrm{ML}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MK}}.
On défnit les points \text{L} tel que \overrightarrow{\mathrm{FL}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{FG}} et \text{K} tel que \overrightarrow{\mathrm{GK}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{GH}}.
Le point \text{M} est un point du segment [\text{CG}].
On a \overrightarrow{\mathrm{CM}}=t \times \overrightarrow{k} avec t \in[0 \,; 2].
Questions préliminaires :
1.Justifer que (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}) est un repère orthonormé de l'espace.
2. Dans le repère (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j} \: , \overrightarrow{k}), donner les coordonnées de tous les points de la figure ci-contre.
3. Donner, dans ce repère, les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{ML}} et \overrightarrow{\mathrm{MK}}.
4. Calculer \text {ML}, \text {MK} et \overrightarrow{\mathrm{ML}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MK}}.
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Objectif
Trouver une position approchée du point \text{M} tel que la mesure de l'angle \widehat{\text{LMK}} soit 45^\circ à l'aide d'une des deux méthodes.
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Méthode 1GeoGebra
1. Placer les deux points \text{A} et \text{B} en utilisant leurs coordonnées.
2. Avec l'outil Cube, faire apparaître le cube \text{ABCDEFGH}.
3. Dans la barre de saisie, créer les points \text{L} et \text{K}.
4. Placer un point \text{M} mobile sur le segment [\text{CG}].
5. Faire apparaître une mesure de l'angle \widehat{\text{LMK}}.
2. Avec l'outil Cube, faire apparaître le cube \text{ABCDEFGH}.
3. Dans la barre de saisie, créer les points \text{L} et \text{K}.
4. Placer un point \text{M} mobile sur le segment [\text{CG}].
5. Faire apparaître une mesure de l'angle \widehat{\text{LMK}}.
6. Déplacer le point \text{M} de façon à ce que l'angle \widehat{\text{LMK}} ait une mesure la plus proche possible de 45^\circ.
GeoGebra
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Méthode 2Tableur
Ouvrir une feuille de calcul. (Fichier téléchargeable ).
1. Dans la colonne A, mettre les valeurs possibles pour t, avec un pas de 0{,}1.
2. Dans les colonnes B et C, calculer le carré des longueurs \text{ML} et \text{MK}.
3. Dans la colonne D calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{ML}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MK}}.
2. Dans les colonnes B et C, calculer le carré des longueurs \text{ML} et \text{MK}.
3. Dans la colonne D calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{ML}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MK}}.
4. En utilisant la fonction ACOS(), calculer une valeur approchée de la mesure de l'angle.
Attention : cette mesure est exprimée en radian, il faut la convertir en degré.
5. Trouver la valeur de t telle que l'angle \widehat{\text{LMK}} ait une mesure la plus proche possible de 45^\circ.
6. Recommencer avec un pas de 0{,}01.
Attention : cette mesure est exprimée en radian, il faut la convertir en degré.
5. Trouver la valeur de t telle que l'angle \widehat{\text{LMK}} ait une mesure la plus proche possible de 45^\circ.
6. Recommencer avec un pas de 0{,}01.
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Déterminer une mesure de l'angle \widehat{\text{FMG}} lorsque \text{M} est le centre du cube \text{ABCDEFGH}.
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