Mathématiques Terminale Spécialité
Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Mes Pages
Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Méthode BAC
Préparer le BAC
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Comment répondre aux questions du bac ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
1Montrer l'orthogonalité de deux vecteurs.
On calcule généralement le produit scalaire des deux
vecteurs et on montre qu'il est nul.
Cela revient à montrer que deux droites sont orthogonalesVoir exercice question 1. a.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
3Déterminer une représentation paramétrique
d'une droite orthogonale à un plan.
On détermine un vecteur normal au plan : ce sera un
vecteur directeur de la droite. Avec un point de cette
droite, on détermine la représentation paramétriqueVoir exercice question 3. c.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
2 Montrer qu'une droite est orthogonale à un plan.
Pour cela, il sufft de montrer qu'un vecteur directeur de la droite est colinéaire à un vecteur normal du plan.Voir exercice question 1. a.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
4Trouver l'intersection d'une droite et d'un plan.
On résout un système comportant les trois équations
d'une représentation paramétrique de la droite ainsi
qu'une équation du plan. Quand le point est donné,
il sufft de prouver qu'il appartient à la fois à la
droite et au plan.Voir exercice question 3. d.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercice guidé
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
114
[D'après bac S, Centres étrangers, juin 2019]Dans l'espace, on considère un cube \text{ABCDEFGH} de centre \Omega et d'arête de longueur 6.
Les points \text{P}, \text{Q} et \text{R} sont définis par \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AE}} et \overrightarrow{\mathrm{HR}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{HE}}.
Dans tout ce qui suit, on utilise le repère orthonormé (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{i} \:, \overrightarrow{j} \:, \overrightarrow{k}) avec \overrightarrow{i}=\frac{1}{6} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{j}=\frac{1}{6} \overrightarrow{\mathrm{AD}} et \overrightarrow{k}=\frac{1}{6} \overrightarrow{\mathrm{AE}}.
Dans ce repère, on a par exemple \mathrm{B}(6 \: ; 0 \: ; 0), \mathrm{F}(6 \: ; 0 \: ; 6) et \mathrm{R}(0 \: ; 4 \: ; 6).
1. a. Donner, sans justifer, les coordonnées des points \text{P}, \text{Q} et \Omega.
b. Déterminer les nombres réels b et c tels que \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} 1 \\ b \\ c \end{array}\right) soit un vecteur normal au plan (\text{PQR}).
c. En déduire qu'une équation du plan (\text{PQR}) est x-y+z-2=0.
2. a. On note \Delta la droite perpendiculaire au plan (\text{PQR}) passant par le point \Omega, centre du cube. Donner une représentation paramétrique de la droite \Delta.
b. En déduire que la droite \Delta coupe le plan (\text{PQR}) au point \text{I} de coordonnées \left(\frac{8}{3} \: ; \frac{10}{3} \: ; \frac{8}{3}\right).
Aide
On utilise les définitions vectorielles de \text{P}, \text{Q} et \text{R}, et les vecteurs \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} et \overrightarrow{k}.
b. Déterminer les nombres réels b et c tels que \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} 1 \\ b \\ c \end{array}\right) soit un vecteur normal au plan (\text{PQR}).
Aide
Penser au produit scalaire.
c. En déduire qu'une équation du plan (\text{PQR}) est x-y+z-2=0.
2. a. On note \Delta la droite perpendiculaire au plan (\text{PQR}) passant par le point \Omega, centre du cube. Donner une représentation paramétrique de la droite \Delta.
Aide
Un vecteur normal du plan (\text{PQR}) sera un vecteur directeur de la droite orthogonale à ce plan.
b. En déduire que la droite \Delta coupe le plan (\text{PQR}) au point \text{I} de coordonnées \left(\frac{8}{3} \: ; \frac{10}{3} \: ; \frac{8}{3}\right).
Aide
On résout le système formé par les trois équations
paramétriques de \Delta et l'équation du plan donnée.
c. Calculer la distance \Omega \text{I}.
Aide
Ne pas oublier de préciser que le repère est orthonormé.
3. On considère les points \mathrm{J}(6 \: ; 4 \: ; 0) et \mathrm{K}(6 \: ; 6 \: ; 2).
a. Justifer que le point \text{J} appartient au plan (\text{PQR}).
Aide
Utiliser une équation du plan.
b. Vérifier que les droites (\text{JK}) et (\text{QR}) sont parallèles.
Aide
Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
c. Sur la figure, tracer la section du cube par le plan (\text{PQR}). On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la démarche.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exercices
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
115
[D'après bac S, Antilles - Guyane, septembre. 2019.]
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (\text{O} ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}). On considère les points \text{A}(10 \: ; 0 \: ;1), \text{B} (1 \: ; 7 \: ; 1) et \text{C} (0 \: ; 0 \: ; 5).
1. a. Démontrer que les droites (\text{OA}) et (\text{OB}) ne sont pas perpendiculaires.
b. Déterminer la mesure, en degré, de l'angle \widehat{\text{AOB}} arrondie au dixième.
2. Vérifer que 7x+9y-70z=0 est une équation cartésienne du plan (\text{OAB}).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (\text{CA}).
b. Déterminer la mesure, en degré, de l'angle \widehat{\text{AOB}} arrondie au dixième.
2. Vérifer que 7x+9y-70z=0 est une équation cartésienne du plan (\text{OAB}).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (\text{CA}).
4. Soit \text{D} le milieu du segment [\text{OC}].
Déterminer une équation du plan \mathcal{P} parallèle au plan (\text{OAB}) passant par \text{D}.
5. Le plan \mathcal{P} coupe la droite (\text{CB}) en \text{E} et la droite (\text{CA}) en \text{F}. Déterminer les coordonnées du point \text{F}. On admet que le point \text{E} a pour coordonnées a \left(\frac{1}{2} ; \frac{7}{2} ; 3\right).
6. Démontrer que la droite (\text{EF}) est parallèle à la droite (\text{AB}).
Déterminer une équation du plan \mathcal{P} parallèle au plan (\text{OAB}) passant par \text{D}.
5. Le plan \mathcal{P} coupe la droite (\text{CB}) en \text{E} et la droite (\text{CA}) en \text{F}. Déterminer les coordonnées du point \text{F}. On admet que le point \text{E} a pour coordonnées a \left(\frac{1}{2} ; \frac{7}{2} ; 3\right).
6. Démontrer que la droite (\text{EF}) est parallèle à la droite (\text{AB}).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
116
[D'après bac S, Métropole - La Réunion, juin 2019.]
On considère un cube \text{ABCDEFGH} d'arête de longueur 1, dont la figure est donnée ci-dessous.
On note \text{I} le milieu du segment \text{[EF]}, \text{J} le milieu du segment \text{[EH]} et \text{K} le point du segment \text{[AD]} tel que \overrightarrow{\mathrm{AK}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AD}}. On note \mathcal{P} le plan passant par \text{I} et parallèle au plan (\text{FHK}). On munit l'espace du repère orthonormé (\mathrm{A} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AB}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AD}} \:, \overrightarrow{\mathrm{AE}}).
1. a. Montrer que le vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}
4 \\
4 \\
-3
\end{array}\right) est un vecteur normal au plan (\text{FHK}).
b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (\text{FHK}) est 4 x+4 y-3 z-1=0.
c. Déterminer une équation du plan \mathcal{P}.
d. Calculer les coordonnées du point \text{M}', point d'intersection du plan \mathcal{P} et de la droite (\text{AE}).
b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (\text{FHK}) est 4 x+4 y-3 z-1=0.
c. Déterminer une équation du plan \mathcal{P}.
d. Calculer les coordonnées du point \text{M}', point d'intersection du plan \mathcal{P} et de la droite (\text{AE}).
2. On note \Delta la droite passant par le point \text{E} et orthogonale au plan \mathcal{P}.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta.
b. Calculer les coordonnées du point \text{L}, intersection de la droite \Delta et du plan (\text{ABC}).
c. Tracer la droite \Delta sur la figure.
d. Les droites \Delta et (\text{BF}) sont-elles sécantes ?
Qu'en est-il des droites \Delta et (\text{CG}) ? Justifer.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta.
b. Calculer les coordonnées du point \text{L}, intersection de la droite \Delta et du plan (\text{ABC}).
c. Tracer la droite \Delta sur la figure.
d. Les droites \Delta et (\text{BF}) sont-elles sécantes ?
Qu'en est-il des droites \Delta et (\text{CG}) ? Justifer.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
117
[D'après bac S, Pondichéry, mai 2018.]
Dans l'espace muni du repère orthonormé (\text{O}\:; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \: ; \overrightarrow{k}), d'unité 1\text{ cm}, on considère les points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} de coordonnées respectives (2 \: ; 1 \: ;4), (4 \: ; -1 \: ; 0), (0 \: ; 3 \: ;2) et (4 \: ; 3 \: ;-2).
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (\text{CD}).
2. Soit \text{M} un point de la droite (\text{CD}).
a. Déterminer les coordonnées du point \text{M} telles que la distance \text{BM} soit minimale.
b. On note \text{H} le point de la droite (\text{CD}) ayant pour coordonnées (3 \: ; 3 \: ;-1). Vérifer que les droites (\text{BH}) et (\text{CD}) sont perpendiculaires.
c. Montrer que l'aire du triangle \text{BCD} est égale à 12\text{ cm}^2.
3. a. Démontrer que le vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)est un vecteur normal au plan (\text{BCD}).
2. Soit \text{M} un point de la droite (\text{CD}).
a. Déterminer les coordonnées du point \text{M} telles que la distance \text{BM} soit minimale.
b. On note \text{H} le point de la droite (\text{CD}) ayant pour coordonnées (3 \: ; 3 \: ;-1). Vérifer que les droites (\text{BH}) et (\text{CD}) sont perpendiculaires.
c. Montrer que l'aire du triangle \text{BCD} est égale à 12\text{ cm}^2.
3. a. Démontrer que le vecteur \overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)est un vecteur normal au plan (\text{BCD}).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (\text{BCD}).
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par \text{A} et orthogonale au plan (\text{BCD}).
d. Démontrer que le point \text{I}, intersection de la droite \Delta et du plan (\text{BCD}) a pour coordonnées \left(\frac{2}{3} \: ; \frac{1}{3} \: ; \frac{8}{3}\right).
4. Calculer le volume du tétraèdre \text{ABCD}.
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par \text{A} et orthogonale au plan (\text{BCD}).
d. Démontrer que le point \text{I}, intersection de la droite \Delta et du plan (\text{BCD}) a pour coordonnées \left(\frac{2}{3} \: ; \frac{1}{3} \: ; \frac{8}{3}\right).
4. Calculer le volume du tétraèdre \text{ABCD}.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
