Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Dans un repère orthonormé de l'espace (\text{O}\: ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), on considère le point \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} \:; y_{\mathrm{A}} \:; z_{\mathrm{A}}\right), le plan \mathcal{P} d'équation ax + by + cz + d = 0 où (a \: ; b \: ; c) \neq(0\: ; 0 \:; 0) et la sphère \mathcal{S} de centre \mathrm{I}\left(x_{\mathrm{I}} \:; y_{\mathrm{I}} \:; z_{\mathrm{I}}\right) et de rayon r \gt 0.

On note d(\text{A},\mathcal{P}) la distance de \text{A} à \mathcal{P}.
On cherche à caractériser précisément l'intersection de \mathcal{S} et \mathcal{P}.

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Partie 1

Soit \vec{n} un vecteur normal de \mathcal{P}. On note \text{H} le projeté orthogonal de \text{A} sur \mathcal{P}.

1. Montrer que |\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \vec{n}|=\mathrm{AH} \times\|\vec{n}\|.

2. Montrer que |\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \vec{n}|=\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|.

3. En déduire que d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\frac{\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.

4. Soit \mathcal{P}_{1} le plan d'équation x-4 y+10 z+19=0 et soient les points \mathrm{D}(2 \:; 0 \:;-3) et \mathrm{E}(-1 \:; 2 \:; - 1). Calculer les distances d\left(\mathrm{D}, \mathcal{P}_{1}\right) et d\left(\mathrm{E}, \mathcal{P}_{1}\right).

5. Comment aurait-on pu prévoir simplement que d\left(\mathrm{E}, \mathcal{P}_{1}\right)=0 et d\left(\mathrm{D}, \mathcal{P}_{1}\right) \neq 0 ?

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Partie 2

On admet que d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\frac{\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}. Soient \mathcal{P}_1 le plan d'équation x - 4y + 10z - 20 = 0 et \mathcal{P}_2 le plan d'équation x - 4y + 10z - 11 = 0.
Soit \mathcal{E}_{1} l'ensemble des points \text{M} de coordonnées (x \:; y \:; z) telles que (x-2)^{2}+y^{2}+(z+3)^{2}=13.

1. Montrer que \mathcal{E}_{1} est une sphère dont on déterminera les coordonnées de son centre \text{I} ainsi que son rayon r.

2. Déterminer la distance de \text{I} à \mathcal{P}_1 et en déduire l'intersection recherchée.

3. Déterminer la distance de \text{I} à \mathcal{P}_2 et en déduire que l'intersection recherchée est le point \mathrm{J}\left(\frac{7}{3} \: ;-\frac{4}{3} \:; \frac{1}{3}\right).

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Partie 3

On admet que d(\mathrm{A}, \mathcal{P})=\frac{\left|a x_{\mathrm{A}}+b y_{\mathrm{A}}+c z_{\mathrm{A}}+d\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}. Soit \mathcal{E}_{2} l'ensemble des points \text{M} de coordonnées (x \:; y \:; z) telles que x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+6 z=0.

1. Montrer que \mathcal{E}_{2} est une sphère dont on déterminera les coordonnées de son centre \text{I} ainsi que son rayon r.

2. Déterminer la distance de \text{I} à \mathcal{P}_3 d'équation x - 4y + 10z + 2 = 0.

3. Montrer que l'intersection recherchée est le cercle de centre \mathrm{J}\left(\frac{20}{9} \: ;-\frac{8}{9} \:; -\frac{7}{9}\right)et de rayon \frac{\sqrt{65}}{3}.

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Mise en commun

1. Caractériser de manière générale l'intersection de la sphère \mathcal{S} de centre \text{I} et de rayon le réel r \gt 0 avec un plan \mathcal{P}, en distinguant trois cas de figure.

2. On donne les plans \mathcal{P}_{k} d'équation x - 4y + 10z + k = 0, où k est un réel. À quelle condition portant sur le réel k l'intersection du plan \mathcal{P}_{k} et de la sphère \mathcal{S} d'équation x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6z = 0 est-elle :

a. vide ?

b. un point ?

c. un cercle ?

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