1.
2. La seule force qui s'exerce sur le ballon est le poids
\overrightarrow P. D'après la deuxième loi de Newton :
\overrightarrow{p}=m\ · \overrightarrow{a}
\overrightarrow{a}=-g\ · \overrightarrow{j}
En intégrant et en tenant compte de la vitesse initiale
\overrightarrow{v}_{0} :
\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}
v_{0}\ · \cos (\alpha) \\
-g\ · t+v_{0}\ · \sin (\alpha)
\end{array}\right)_{(\mathrm{O}, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})}
Par intégration, on a :
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=v_{0}\ · \cos (\alpha) · t \\
y(t)=-\frac{1}{2} g\ · t^{2}+v_{0}\ · \sin (\alpha) · t+h
\end{array}\right.
3. Le ballon touche le sol pour
y\left(t_{\mathrm{sol}}\right)=0 m. L'équation précédente prend la forme d'une équation du second degré :
-\frac{1}{2} g\ · t_{\mathrm{sol}}^{2}+v_{0}\ · \sin (\alpha)\ · t_{\mathrm{sol}}+h=0
La seule solution possible physiquement est
t_{\mathrm{sol}} = 1{,}4 s.
4.
\begin{aligned}
D &=x\left(t_{\text {sol }}\right) \\
D &=v_{0} \cdot \cos (\alpha) \cdot t_{\text {sol }} \\
\mathrm{A N}: D &=8{,}0 \times \cos (50) \times 1{,}4=7{,}2 \;\mathrm{m}
\end{aligned}