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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 14
Exercices
Je résous des problèmes
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53Un parallélogramme ?
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Considérez la figure suivante. Soit D le symétrique de B par rapport à (\text{AC}).
1. Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ?
1. Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ?
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54ABCD.
1. ABCD est un rectangle de centre O tel que \widehat{\text{ODC}} = 63^{\circ}. Que vaut lʼangle \widehat{\text{AOD}} ?
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55ABCD est un parallélogramme.
Z est le symétrique de B par rapport à A, F le symétrique de C par rapport à D, G le symétrique de F par rapport à Z et H le symétrique de C par rapport à B.
1. Faites un dessin.
2. Montrez que ZBCF est un parallélogramme.
3. Montrez que CFGH est un parallélogramme.
1. Faites un dessin.
GeoGebra
2. Montrez que ZBCF est un parallélogramme.
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56Vrai ou faux ?
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En considérant que (MP) est parallèle à (NQ), ces affirmations sont-elles vraies ? Justifiez.
1. L'affirmation (AJ) // (BK) est-elle vraie ?
2. L'affirmation (AJ) // (CL) est-elle vraie ?
3. L'affirmation (BK) // (CL) est-elle vraie ?
1. L'affirmation (AJ) // (BK) est-elle vraie ?
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57Triangle et droites parallèles.
- Tracez un triangle ABC.
- Placez le milieu M du segment [AB].
- Tracez la droite parallèle à (BC) passant par le point M.
- Cette droite coupe le segment [AC] en N.
- Tracez la droite parallèle à (AB) passant par le point N.
- Cette droite coupe le segment [BC] en O.
GeoGebra
1. Quelle est la nature du quadrilatère MNOB ? Justifiez. Déduisez-en une relation entre les longueurs MB, MA et NO.
2. Démontrez alors que MANO est un parallélogramme. Que pouvez-vous en déduire quant aux droites (MO) et (AC) ? Quant aux longueurs AN et MO ?
3. Démontrez enfin que MNCO est un parallélogramme, puis que MO = NC.
4. Déduisez des deux questions précédentes que N est le milieu de [AC].
On a démontré le
théorème de la droite
des milieux, qui dit que
si, dans un triangle,
une droite parallèle à
un côté passe par le
milieu d'un deuxième
côté, alors elle coupe le
troisième côté en son
milieu.
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58Parallélisme et angles.
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1. Les droites (AB) et (HE) sont-elles parallèles ?
2. Calculer l'angle \widehat{\text{GCI}}.
Coup de pouce
Comparez les angles \widehat{\text{FIE}} et \widehat{\text{DAB}}.
2. Calculer l'angle \widehat{\text{GCI}}.
Coup de pouce
Utilisez l'angle \widehat{\text{GCH}}.
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59Savoir refaireDroites parallèles ?
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1. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. La droite (EF) est-elle parallèle à (AB) ?
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60Des angles à calculer.
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1. Sachant que les droites d et d' sont parallèles, donnez la mesure des angles du triangle ABC.
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61Angles manquants.
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Les droites (DF) et (BC) sont parallèles. A, F, C d'une part et A, E, B d'autre part sont alignés.
1. Donnez la mesure des angles manquants de EFCB.
1. Donnez la mesure des angles manquants de EFCB.
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62Trapèze.
1. Construisez le trapèze ABCD suivant.
2. Tracez la demi-droite [DA), puis placez-y un point E n'appartenant pas au segment [DA].
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GeoGebra
3. Sans les mesurer directement, donnez en justifiant la mesure de \widehat{\text{EAB}} puis celle de \widehat{\text{ADC}}.
4. Faites le même raisonnement pour trouver la mesure de l'angle \widehat{\text{BCD}}.
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63Mesure d'angle.
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La droite (DE) est parallèle à d.
1. Donnez la mesure de l'angle \widehat{\text{BO}^\prime \text{O}^{\prime \prime}}.
1. Donnez la mesure de l'angle \widehat{\text{BO}^\prime \text{O}^{\prime \prime}}.
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64Savoir refaireConstruction d'un parallélogramme.
Tracez un segment [GA] de longueur 12 cm.
1. Tracez la médiatrice d de [GA]. On appelle M le milieu de [GA]. 2. Tracez un cercle C de centre M et dont vous choisissez le rayon. Le cercle coupe la droite d en deux points : N et H. Montrez alors que, quel que soit l'écartement de compas choisi, GNAH est un parallélogramme.
1. Tracez la médiatrice d de [GA]. On appelle M le milieu de [GA]. 2. Tracez un cercle C de centre M et dont vous choisissez le rayon. Le cercle coupe la droite d en deux points : N et H. Montrez alors que, quel que soit l'écartement de compas choisi, GNAH est un parallélogramme.
GeoGebra
3. Quel écartement doit-on choisir pour que GNAH soit un carré ?
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65Tracez un parallélogramme à partir de cercles.
1. Tracez au compas deux cercles de même centre mais de rayons différents. En vous aidant de ces deux cercles, tracez un parallélogramme non aplati uniquement à l'aide d'une règle, sans vous servir des graduations.
GeoGebra
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66Démontrez que des quadrilatères sont des parallélogrammes.
ABCD est un rectangle, E le milieu de [AB], F le milieu de [BC], G le milieu de [CD] et H le milieu de [AD]. On note O l'intersection des droites (EG) et (FH).
1. Montrez que ABFH et EBCG sont des parallélogrammes.
2. Montrez que BFOE est un parallélogramme.
3. Montrez que EFGH est un parallélogramme.
4. Montrez que BFOE est un rectangle.
5. Montrez que EFGH est un losange.
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67Parallélogramme et parallélisme.
ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points I et J appartiennent à [AC] avec AI = IJ = JC.
1. Faites un schéma.
2. Montrez que les droites (IB) et (DJ) sont parallèles.
2. Montrez que les droites (IB) et (DJ) sont parallèles.
Coup de pouce
Étudiez la symétrie par rapport
à O de la figure.
GeoGebra
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68Cercles et quadrilatères.
Tracez un cercle C de centre O et de rayon r = 7,5 \text{~cm}. Conservez cet écartement de compas.
- Placez deux points A et B sur le cercle C, non diamétralement opposés.
- Tracez alors deux cercles : l'un de centre A, l'autre de centre B, de même rayon que le cercle C. Ces deux cercles se coupent en O et en D.
GeoGebra
1. Pourquoi les deux cercles se coupent-ils en O ?
2. Quelle est la nature du quadrilatère ADBO ?
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69Forme d'une table.
1. Comment montrer que votre table est ou nʼest pas rectangulaire, à lʼaide dʼun mètre ruban ? Alors, lʼest-elle ?
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70Triangle et parallélogramme.
Soit un triangle ABC. On construit le point D, symétrique de A par rapport à la droite (BC).
1. À quelle condition portant sur le triangle ABC le quadrilatère ABDC est-il un parallélogramme ?
1. À quelle condition portant sur le triangle ABC le quadrilatère ABDC est-il un parallélogramme ?
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71Triangle, symétrique et parallélogramme.
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2. Tracez O le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à O.
GeoGebra
3. Montrez que ABCD est un parallélogramme.
4. Déduisez-en la valeur de l'aire de ABCD.
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72ABCD et ABC'D'.
ABCD est un parallélogramme et ABC'D' son symétrique par rapport à (AB).
1. Montrez que CDD'C' est un parallélogramme.
2. Montrez que (DD') et (DC) sont perpendiculaires.
3. Déduisez-en que CDD'C' est un rectangle.
1. Montrez que CDD'C' est un parallélogramme.
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73Diagonales et losanges.
ABCD est un parallélogramme et O le point d'intersection de ses diagonales. P et Q sont des points de [AB] et [BC]. Les droites (OP) et (OQ) coupent respectivement [CD] et [AD] en R et S.
1. Montrez que O est le milieu de [PR].
2. Montrez que PQRS est un parallélogramme.
3. Par cette méthode, combien de losanges peut-on créer à partir de ABCD ?
1. Montrez que O est le milieu de [PR].
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74Symétrique et médiatrices.
Soit le segment [AB], H son milieu, et D un point de sa médiatrice tel que \widehat{\text{DAH}} = 45^{\circ}. Soit O le milieu de [DB].
1. Faites la figure.
2. Placez C et G, les symétriques de A et H par rapport à O.
1. Faites la figure.
GeoGebra
3. Montrez que ABCD est un parallélogramme. Est-il particulier ?
4. Montrez que BGDH est un parallélogramme. Est-il particulier ?
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75Symétriques.
d est une droite. O appartient à d et A n'appartient pas à d. (OA) n'est pas perpendiculaire à d. B est le symétrique de A par rapport à d et C et D ceux de A et B par rapport à O.
1. Montrez que ABCD est un parallélogramme.
2. ABCD est-il un parallélogramme particulier ?
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Tâche complexeUn phare, un chameau et un puits.
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Énoncé
Pendant lʼAntiquité, alors que lʼÉgypte était encore gouvernée par des descendants des Grecs qui avaient accompagné Alexandre le Grand, Ératosthène parvint à calculer la circonférence de la Terre avec un phare, un puits et un chameau.
1. Sauriez-vous faire de même ?
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Doc. 1Extrait de la biographie d'Ératosthène.
Tout d'abord, des voyageurs lui rapportèrent qu'à Syène, au solstice d'été, il n'y avait aucune ombre projetée dans les puits de la ville. Ératosthène en déduisit que les rayons de Soleil étaient donc alignés avec les bords des puits, et donc que les rayons du Soleil étaient alignés avec le centre de la Terre.
Ératosthène, qui se trouvait alors à Alexandrie, en profita pour mesurer l'ombre projetée par le phare d'Alexandrie le jour du solstice d'été, pour être sûr que les mesures seraient comparables à celles faites à Syène. Il en déduisit que l'angle formé par les rayons de lumière et l'axe sommet du phare – centre de la Terre mesurait 7,2°.
Enfin, à l'aide d'un chameau, qui servait à l'époque à calculer les distances grâce à ses pas très réguliers, il mesura que la distance entre Syène et Alexandrie était d'environ 5 000 stades.
Ératosthène, qui se trouvait alors à Alexandrie, en profita pour mesurer l'ombre projetée par le phare d'Alexandrie le jour du solstice d'été, pour être sûr que les mesures seraient comparables à celles faites à Syène. Il en déduisit que l'angle formé par les rayons de lumière et l'axe sommet du phare – centre de la Terre mesurait 7,2°.
Enfin, à l'aide d'un chameau, qui servait à l'époque à calculer les distances grâce à ses pas très réguliers, il mesura que la distance entre Syène et Alexandrie était d'environ 5 000 stades.
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Doc. 2Hypothèses de travail.
Du temps d'Ératosthène, les scientifiques étaient très bons en astronomie, mais ils ne disposaient pas de certaines connaissances d'aujourd'hui, faute d'instruments de mesure adaptés pour vérifier leurs hypothèses. Voici les hypothèses qui permirent à Ératosthène de calculer la circonférence de la Terre :
a. La Terre est ronde.
b. Le Soleil est une sphère immense, plus grande que la Terre.
c. Puisque le Soleil est extrêmement loin, ses rayons frappent la Terre comme s'ils étaient parallèles entre eux.
a. La Terre est ronde.
b. Le Soleil est une sphère immense, plus grande que la Terre.
c. Puisque le Soleil est extrêmement loin, ses rayons frappent la Terre comme s'ils étaient parallèles entre eux.
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Doc. 3Le stade.
Table de conversion d'un stade, l'unité de
mesure des grandes distances des Grecs d'Égypte.
| Stade | Mètres |
| 1 | 157,5 |
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Doc. 4Schéma de la Terre frappée par les
rayons du Soleil.
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