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Problèmes résolus
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49Démontrez le parallélisme.
✔ Je structure mon raisonnement
✔ J'envisage plusieurs méthodes de résolution
A, B et C ne sont pas alignés. Posez A' et B', les symétriques de A et B par rapport à C.
Montrez que (AB) et (A'B') sont parallèles.
✔ J'envisage plusieurs méthodes de résolution
A, B et C ne sont pas alignés. Posez A' et B', les symétriques de A et B par rapport à C.
Montrez que (AB) et (A'B') sont parallèles.
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Méthode 1
Pour montrer le parallélisme de deux droites.
On peut s'attacher à démontrer que deux angles alternes-internes ou correspondants sont égaux.
On peut s'attacher à démontrer que deux angles alternes-internes ou correspondants sont égaux.
Corrigé 1
- A' et B' sont respectivement les images de A et B par la symétrie de centre C. Donc le triangle A'B'C est l'image de ABC par la symétrie de centre C.
- La symétrie centrale conserve les mesures des angles donc \widehat{\text{BAC}} et \widehat{\text{CA}^{\prime}\text{B}^{\prime}} sont égaux.
- Or ils sont alternes-internes.
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Méthode 2
Pour montrer que deux droites sont parallèles, on peut aussi d'abord construire un quadrilatère dont deux arêtes appartiennent aux droites. Il faut alors montrer que ce quadrilatère est un parallélogramme et enfin en déduire que les droites sont parallèles.
Corrigé 2
- On sait que les symétries centrales préservent les distances.
Donc AC = A'C et BC = B'C. - Les diagonales du quadrilatère ABA'B' se coupent en C qui est leur milieu, donc ABA'B' un parallélogramme.
- Or les côtés d'un parallélogramme sont parallèles deux à deux, donc (AB) et (A'B') sont parallèles.
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50Problème similaire Cercle, triangle et quadrilatère.
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