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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilit és
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 1
Cours 1
Suites numériques
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A
Définitions
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Définition
Une suite numérique u, ou (u_n), est une fonction dont l'ensemble de définition est \N = \{0 \; ; 1 \; ; 2 \; ; 3 \; ; 4 \; ; 5 \; ; \ldots\} ou une de ses parties.
À la variable entière n, on associe le nombre u(n) appelé terme de rang \bm n de la suite u.
On a donc u : n \mapsto u(n).
On note souvent u_n le terme de rang n.
À la variable entière n, on associe le nombre u(n) appelé terme de rang \bm n de la suite u.
On a donc u : n \mapsto u(n).
On note souvent u_n le terme de rang n.
Remarque
Lorsque la suite u est définie sur \N , le premier terme est le terme d'indice \bm 0, soit u_0.
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Exemple
Soit (u_n) une suite définie sur \N dont les premiers termes sont : 2 \; ;-1 \; ;3{,}5 et \dfrac{1}{3}.
On a alors u(0)=2, u(1)=-1, u(2)=3{,}5 et u(3)=\dfrac{1}{3}.
On peut également écrire u_0=2, u_1=-1, u_2=3{,}5 et u_3=\dfrac{1}{3}.
On a alors u(0)=2, u(1)=-1, u(2)=3{,}5 et u(3)=\dfrac{1}{3}.
On peut également écrire u_0=2, u_1=-1, u_2=3{,}5 et u_3=\dfrac{1}{3}.
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Définitions
Dans le cadre des suites étudiées cette année, nous rencontrerons deux types de définition pour définir une suite (u_n) :
- par son terme général (ou écriture fonctionnelle) : il existe une fonction f telle que, pour tout n, u_n=f(n) ;
- par récurrence : dans ce cas, le terme suivant est défini par rapport au(x) terme(s) qui le précède(nt) et son (ou ses) premier(s) terme(s).
Remarques
- Pour une suite (u_n) définie par écriture fonctionnelle, u_n s'exprime directement en fonction de n. On peut donc directement calculer n'importe quel terme.
- Pour une suite (u_n) définie par récurrence, il est nécessaire de connaître un terme de la suite pour calculer les autres.
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Exemples
1. La suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n = 2n - 8 est une suite définie par son terme général.
2. La suite (v_n) définie par v_0 = 5 et la relation v_{n+1} = 2 v_n - 8, valable pour tout entier naturel n, est une suite définie par récurrence.
2. La suite (v_n) définie par v_0 = 5 et la relation v_{n+1} = 2 v_n - 8, valable pour tout entier naturel n, est une suite définie par récurrence.
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Application et méthode - 1
Calculer les termes d'une suite
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Énoncé
Déterminer les trois premiers termes des suites (u_n) et (v_n) définies par les relations suivantes.
1. u_{n}=n^{2}+5 n-3.
2. v_{0}=2 et la relation, valable pour tout n \in \mathbb{N}, v_{n+1}=3 v_{n}+1.
1. u_{n}=n^{2}+5 n-3.
2. v_{0}=2 et la relation, valable pour tout n \in \mathbb{N}, v_{n+1}=3 v_{n}+1.
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Solution
1. La suite (u_n) définie sur \N par u_{n}=n^{2}+5 n-3 est définie par écriture fonctionnelle avec f(n)=n^{2}+5 n-3.
On a donc u_{\color{darkred}0}={\color{darkred}0}^{2}+5 \times {\color{darkred}0}-3=-3 \; ; u_{\color{blue}1}={\color{blue}1}^{2}+5 \times {\color{blue}1}-3=3 et u_{\color{green}2}={\color{green}2}^{2}+5 \times {\color{green}2}-3=11.
2. La suite (v_n) est définie par récurrence.
On a déjà v_0=2, puis la relation de récurrence donne : {\color{darkred}v_{1}}=3 \times {\color{blue}v_{0}}+1=3 \times 2+1=7 puis {\color{darkred}v_{2}}=3 \times {\color{blue}v_{1}}+1=3 \times 7+1=22.
Pour s'entraîner : exercices
On a donc u_{\color{darkred}0}={\color{darkred}0}^{2}+5 \times {\color{darkred}0}-3=-3 \; ; u_{\color{blue}1}={\color{blue}1}^{2}+5 \times {\color{blue}1}-3=3 et u_{\color{green}2}={\color{green}2}^{2}+5 \times {\color{green}2}-3=11.
2. La suite (v_n) est définie par récurrence.
On a déjà v_0=2, puis la relation de récurrence donne : {\color{darkred}v_{1}}=3 \times {\color{blue}v_{0}}+1=3 \times 2+1=7 puis {\color{darkred}v_{2}}=3 \times {\color{blue}v_{1}}+1=3 \times 7+1=22.
Pour s'entraîner : exercices
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On repère d'abord si la suite est définie par son terme général ou si elle est définie par récurrence.
1. La première suite est définie par son terme général : on a une expression de u_n en fonction de n. On remplace n par les valeurs voulues pour déterminer les termes demandés.
2. La seconde suite est définie par récurrence.
Ici, cette relation peut se traduire ainsi à l'oral : « terme suivant = 3 \times terme actuel + 1 ».
Attention, cette formulation n'a pas sa place sur une copie à l'écrit.
1. La première suite est définie par son terme général : on a une expression de u_n en fonction de n. On remplace n par les valeurs voulues pour déterminer les termes demandés.
2. La seconde suite est définie par récurrence.
Ici, cette relation peut se traduire ainsi à l'oral : « terme suivant = 3 \times terme actuel + 1 ».
Attention, cette formulation n'a pas sa place sur une copie à l'écrit.
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B
Sens de variation d'une suite
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Définitions
Soit (u_n) une suite numérique.
- La suite (u_n) est croissante lorsque, pour tout entier naturel n, u_{n+1} \geqslant u_{n}, c'est-à-dire lorsque ses termes sont de plus en plus grands.
- La suite (u_n) est décroissante lorsque, pour tout entier naturel n, u_{n+1} \leqslant u_{n}, c'est-à-dire lorsque ses termes sont de moins en moins grands.
Remarque
Lorsque les inégalités sont strictes, on parle alors de stricte (dé)croissance.
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Exemples
1. Soit (u_n) une suite vérifiant, pour tout entier naturel n, la relation de récurrence u_{n+1}=u_{n}-4.
Comme u_{n+1}=u_{n}-4, on en déduit que u_{n+1}\lt u_{n} et donc que la suite (u_n) est strictement décroissante.
2. Soit (v_n) une suite vérifiant, pour tout entier naturel n, v_{n+1}=v_{n}+n^{2}.
On sait qu'un carré est toujours positif ou nul. Ainsi, puisque v_{n+1}=v_{n}+n^{2}, on déduit que v_{n+1} \geqslant v_{n} et donc que la suite (v_n) est croissante.
Comme u_{n+1}=u_{n}-4, on en déduit que u_{n+1}\lt u_{n} et donc que la suite (u_n) est strictement décroissante.
2. Soit (v_n) une suite vérifiant, pour tout entier naturel n, v_{n+1}=v_{n}+n^{2}.
On sait qu'un carré est toujours positif ou nul. Ainsi, puisque v_{n+1}=v_{n}+n^{2}, on déduit que v_{n+1} \geqslant v_{n} et donc que la suite (v_n) est croissante.
Remarque
Il existe des suites qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes.
Par exemple, les termes de la suite (u_n) définie, pour tout entier naturel n, par u_{n}=(-1)^{n} valent successivement 1, puis -1, puis 1, puis -1, etc.
Par exemple, les termes de la suite (u_n) définie, pour tout entier naturel n, par u_{n}=(-1)^{n} valent successivement 1, puis -1, puis 1, puis -1, etc.
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Application et méthode - 2
Déterminer le sens de variation d'une suite
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Énoncé
Étudier le sens de variation de la suite (v_n) définie, pour tout entier naturel n, par v_{n}=-2 n+3.
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Solution
On calcule, pour tout entier naturel n, la différence v_{n+1}-v_{n}.
Ici, \begin{aligned} v_{n+1}-v_{n} & =[-2(n+1)+3]-[-2 n+3] \\ & =-2 n-2+3+2 n-3=-2 \end{aligned}.
Ainsi, v_{n+1}-v_{n}\lt 0 et donc v_{n+1}\lt v_{n}.
La suite (v_n) est donc strictement décroissante.
Pour s'entraîner : exercices
Ici, \begin{aligned} v_{n+1}-v_{n} & =[-2(n+1)+3]-[-2 n+3] \\ & =-2 n-2+3+2 n-3=-2 \end{aligned}.
Ainsi, v_{n+1}-v_{n}\lt 0 et donc v_{n+1}\lt v_{n}.
La suite (v_n) est donc strictement décroissante.
Pour s'entraîner : exercices
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Pour déterminer le sens de variation de la suite (v_n) :
- on calcule, pour tout n, la différence v_{n+1}-v_{n} ;
- on étudie le signe de la différence ;
- si la différence est positive, alors la suite (v_n) est croissante, si la différence est négative, alors la suite (v_n) est décroissante.
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C
Représentation graphique d'une suite
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Afin de mieux visualiser les variations d'une suite numérique (u_n), mais également la notion de limite qui sera au programme de la classe de Terminale, on peut représenter les termes de cette suite sur un graphique.
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Définition
Soit (u_n) une suite.
Dans un repère, la représentation graphique de la suite (u_n) est l'ensemble des points de coordonnées (n \; ; u_n).
Dans un repère, la représentation graphique de la suite (u_n) est l'ensemble des points de coordonnées (n \; ; u_n).
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Remarque
Ce que l'on observe graphiquement sur les premiers termes n'est pas à généraliser pour l'ensemble de la suite mais permet d'émettre une conjecture.
Remarque
La représentation graphique obtenue est un nuage de points. Ce n'est pas une courbe.
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Application et méthode - 3
Représenter une suite
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Énoncé
Représenter sur un graphique les quatre premiers termes des suites (v_n) et (w_n) définies par les relations suivantes.
1. v_{n}=n^{2}-\dfrac{1}{2} n+1.
2. w_{n+1}=\left(w_{n}-2\right)^{2}-1 et w_{0}=1.
1. v_{n}=n^{2}-\dfrac{1}{2} n+1.
2. w_{n+1}=\left(w_{n}-2\right)^{2}-1 et w_{0}=1.
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Solution
1. On calcule les quatre premiers termes de la
suite \left(v_{n}\right): v_{0}=1 \; ; v_{1}=\dfrac{3}{2} \; ; v_{2}=4 et v_{3}=\dfrac{17}{2}.
On place alors quatre points de coordonnées (0 \; ; 1) \; ;\left(1 \; ; \dfrac{3}{2}\right) \; ;(2 \; ; 4) et \left(3 \; ; \dfrac{17}{2}\right)
On place alors quatre points de coordonnées (0 \; ; 1) \; ;\left(1 \; ; \dfrac{3}{2}\right) \; ;(2 \; ; 4) et \left(3 \; ; \dfrac{17}{2}\right)
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2. De même, on calcule les quatre premiers
termes de la suite \left(w_{n}\right): w_{0}=1 \; ; w_{1}=0 \; ; w_{2}=3 et w_3=0.
On place alors quatre points de coordonnées (0 \; ; 1) \; ;(1 \; ; 0) \; ;(2 \; ; 3) et (3 \; ; 0).
On place alors quatre points de coordonnées (0 \; ; 1) \; ;(1 \; ; 0) \; ;(2 \; ; 3) et (3 \; ; 0).
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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- On détermine les quatre premiers termes de chacune des suites.
- On place les couples (n \; ; v_n) et (n \; ; w_n) dans un repère.
- Les nuages de points obtenus sont les représentations graphiques des deux suites. On ne relie surtout pas les points !
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