Un immense défi se présente aux savants du XVI^e siècle : le développement d'outils de navigation et d'astronomie plus perfectionnés amènent avec eux des calculs bien plus longs et complexes que ce à quoi l'humanité avait jusqu'alors été habituée. Pour répondre à ce défi, l'écossais John Neper a une idée simple mais brillante : les calculs les plus longs et compliqués à effectuer sont les multiplications ; alors que les additions sont généralement plus simples. Il met alors au point un outil permettant de « transformer » les multiplications en additions : les logarithmes.

Dans cette activité nous allons étudier un logarithme particulier, inventé par le mathématicien Henry Briggs, appelé logarithme décimal dont voici la table ci‑contre.

a. Analyser / Raisonner
Observer le tableau précédent. Lorsque la valeur de x augmente, que semble‑t‑il se produire pour la valeur de \log(x) ? Que peut‑on dire de la fonction logarithme décimal ?

b. Réaliser, Analyser / Raisonner
À l'aide de la calculatrice, essayer de déterminer \log(-3). Que répond la calculatrice ? Essayer de déterminer \log(-0{,}5) et \log(0). Que peut‑on en conclure ?

c. Réaliser
À l'aide d'un outil numérique, tracer la courbe de la fonction logarithme décimal. La courbe obtenue est‑elle cohérente avec les réponses obtenues aux questions 4.a et 4.b ?

La fonction logarithme décimal associe à tout réel x strictement positif le nombre \log(x).
Cette fonction est strictement croissante sur ] 0 \;;+\infty[et on a :
\log (a \times b)=\log (a)+\log (b) et \log \left(\frac{a}{b}\right)=\log (a)-\log (b)
avec a et b des réels strictement positifs.