La valeur acquise \mathrm{C}_{n} par un capital \mathrm{C}_{0}, placé à intérêts composés pendant n périodes au taux périodique t, est égale à \mathrm{C}_{n}=\mathrm{C}_{0}(1+t)^{n}.

On place, à intérêts composés, un capital \mathrm{C}_{0} durant n années et le taux de ce placement change avec le temps. Le taux moyen, noté t_{\text {moyen }}, est le taux fixe auquel on aurait dû placer le capital \mathrm{C}_{0} durant le même nombre d'années pour obtenir le même capital final.

1. On détermine les valeurs \mathrm{C}_{0} et \mathrm{C}_{f} ainsi que la durée n du placement.
2. Le taux moyen est alors le taux vérifiant \mathrm{C}_{0} \times\left(1+t_{\text {moyen }}\right)^{n}=\mathrm{C}_{f}. On remplace \mathrm{C}_{0}, \mathrm{C}_{f} et n par leurs valeurs puis on résout l'équation en utilisant le logarithme décimal.

La durée n de placement à intérêts composés d'un capital initial \mathrm{C}_{n} à un taux t donné, pour obtenir un capital donné \mathrm{C}_{n}, est égale à n=\frac{\log \left(\frac{\mathrm{C}_{n}}{\mathrm{C}_{0}}\right)}{\log (1+t)}.

Exemple : Déterminer la durée n de placement d'un capital initial de 10 000 € à un taux annuel de 1 \% pour obtenir un capital de 15 000 €.

Dans l'exemple, n=\frac{\log \left(\frac{15000}{10000}\right)}{\log (1+0,01)} \approx 41. Pour obtenir 15 000 €, il faudra attendre 41 ans.

Exemple : Voici le tableau d'amortissement d'un emprunt de 10 000 € à amortissement constant à un taux annuel de 4 \% pendant cinq ans.

Une ou plusieurs bonnes réponses possibles.

1. La valeur acquise par un capital de 1 500 € placé à intérêts composés, pendant trois ans, au taux de 3 \% par an est environ égale à :

a. 4 635 €

b. 1 639 €

c. 2 850 €

d. 1 968 €

2. La valeur acquise par un capital de 800 € placé à intérêts composés, pendant 15 mois, au taux de 1,5 \% par mois est environ égale à :

a. 1 800 €

b. 980 €

c. 12 180 €

d. 1 000 €

3. La valeur acquise par un capital de 2 200 € placé à intérêts composés, pendant 23 mois, au taux de 2 \% par an est environ égale à :

a. 2 285 €

b. 2 244 €

c. 3 469 €

d. 3 212 €

4. La durée de placement à intérêts composés d'un capital initial de 500 € à un taux annuel de 8 \% pour obtenir un capital de 1 259 € est environ égale à :

a. 12 ans

b. 14 ans

c. 15 ans

d. 19 ans

5. La durée de placement à intérêts composés en mois d'un capital initial de 2 000 € à un taux annuel de 2{,}5 \% pour obtenir un capital de 2 800 € est environ égale à :

a. 146 mois

b. 150 mois

c. 160 mois

d. 14 mois

6. La durée de placement à intérêts composés d'un capital initial de 1 000 € à un taux annuel de 3 \% pour obtenir un capital de 1 605 € est environ égale à :

a. 18 ans

b. 16 ans

c. 3 ans

d. 19 ans

7. À quel taux mensuel un placement à intérêts composés à un taux annuel de 9 \% correspond‑il ?

a. 0{,}72 \%

b. 0{,}75 \%

c. 2 \%

d. 10{,}8 \%

8. On effectue un placement à intérêts composés d'un capital de 2 000 € pendant 4 ans : les deux premières années à un taux annuel de 3 \%, les deux années suivantes à un taux annuel de 30 \%. À quel taux unique aurait‑on dû placer ce capital pendant quatre ans pour obtenir le même capital final ?

a. 15{,}7 \%

b. 16{,}5 \%

c. 30 \%

d. 33 \%

1. La situation étant à intérêts composés, justifier que le taux annuel de cet emprunt est environ égal à 2,7 \%.

2. Compléter le tableau d'amortissement du plan de financement ci‑dessous.


3. Répondre à la problématique.

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