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Automatismes
Ch. 1
Statistiques à une variable
Ch. 2
Fluctuations d'une fréquence et probabilités
Ch. 3
Résolution d'un problème du premier degré
Ch. 4
Représentation et variations d'une fonction
Ch. 5
Fonctions affines, fonction carré
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Ch. 7
Géométrie
Fiches méthodes
Chapitre 5
L'essentiel
Fonctions affines, fonction carré et systèmes
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1 Fonction affine f(x)=ax+b
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Une fonction affine f est une fonction définie sur \mathbb{R} dont l'expression est de la forme \bold{f(x)=a x+b} avec a et b réels.
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation réduite y=ax+b.
Le sens de variation d'une fonction affine d'expression f(x)=ax+b dépend du signe de a :
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation réduite y=ax+b.
- a est le cœfficient directeur de la droite ou taux d'accroissement de la fonction.
- b est l'ordonnée à l'origine de la droite.
- si a=0, f(x)=b, la fonction est alors constante ;
- si b=0, f(x)=ax, la fonction est alors linéaire.
Remarque
Deux droites d'équations données sont parallèles si elles ont le même cœfficient directeur.
- si a>0, la fonction est croissante ;
- si a\lt 0, la fonction est décroissante ;
- si a=0, la fonction est constante.
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Exemple
On considère deux fonctions affines f et g définies sur \mathbb{R} par f(x)=2x-4 et g(x)=-3x+2 dont les droites représentatives
sont données ici.
Dans un repère orthonormé, le cœfficient directeur correspond à la pente de la droite.
Dans un repère orthonormé, le cœfficient directeur correspond à la pente de la droite.
- La fonction f est croissante sur \mathbb{R} car a=\color{green}2\color{black}>0.
- La fonction g est décroissante sur \mathbb{R} car a=\color{red}-3\color{black}\lt 0.
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On peut également déterminer algébriquement l'expression f(x)=ax+b d'une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres x_1 et x_2 et de leurs images f(x_1) et f(x_2).
- Pour déterminer a, on calcule le taux d'accroissement a=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}.
- Pour déterminer b, on résout l'équation f\left(x_1\right)=a x_1+b.
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Méthode
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Exercice résolu
1. Déterminer algébriquement l'expression de la fonction affine f à partir des deux points \mathrm{E}(2;3) et
\mathrm{F}(4;9) qui appartiennent à sa droite représentative.
1re étape : Pour déterminer le cœfficient directeur a, on calcule le taux d'accroissement :
a=\frac{f\left(x_\mathrm{F}\right)-f\left(x_\mathrm{E}\right)}{x_\mathrm{F}-x_\mathrm{E}}=\frac{9-3}{4-2}=\frac{6}{2}=3
On obtient donc l'expression f(x)=3x+b.
2e étape : Pour déterminer l'ordonnée à l'origine b, on choisit le point \mathrm{E} ou le point \mathrm{F} et on intègre ses coordonnées dans l'expression.
On choisit par exemple le point \mathrm{F}.
On a f(x)=3x+b, on remplace x par 4 et f(x) par 9.
On obtient 9=3\times 4+b, on résout alors l'équation.
\iff 9=12+b
\iff 9-12=12+b-12
\iff b=-3
L'expression de la fonction affine f est donc f(x)=3 x-3.
1re étape : Pour déterminer le cœfficient directeur a, on calcule le taux d'accroissement :
a=\frac{f\left(x_\mathrm{F}\right)-f\left(x_\mathrm{E}\right)}{x_\mathrm{F}-x_\mathrm{E}}=\frac{9-3}{4-2}=\frac{6}{2}=3
On obtient donc l'expression f(x)=3x+b.
2e étape : Pour déterminer l'ordonnée à l'origine b, on choisit le point \mathrm{E} ou le point \mathrm{F} et on intègre ses coordonnées dans l'expression.
On choisit par exemple le point \mathrm{F}.
On a f(x)=3x+b, on remplace x par 4 et f(x) par 9.
On obtient 9=3\times 4+b, on résout alors l'équation.
\iff 9=12+b
\iff 9-12=12+b-12
\iff b=-3
L'expression de la fonction affine f est donc f(x)=3 x-3.
2. Vérifier graphiquement l'expression obtenue.
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2
Système de deux équations à deux inconnues
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- Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues est composé de deux équations dans lesquelles se trouvent deux inconnues, que l'on note généralement par les lettres x et y.
- Résoudre un système de deux équations à deux inconnues revient à déterminer le couple solution qui vérifie chacune des deux équations.
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Exemple
Soit le système de deux équations à deux inconnues suivant.
\left\{\begin{array}{c}
\color{red}2x+3 y=1\\
\color{green}-5 x+4 y=-14
\end{array}\right.
- On représente graphiquement les droites correspondant à chacune des deux équations du système
- On relève sur le graphique le couple de coordonnées du point d'intersection \mathrm{A} de ces deux droites (2;-1), c'est-à-dire qui a pour abscisse x=2 et pour ordonnée y=-1.
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- On vérifie que ce couple de valeurs est bien solution du système en remplaçant x par 2 et y par -1 dans chacune des deux équations.
- Le couple (2;-1) est donc solution du système.
\left\{\begin{aligned}
2 \times \color{blue}2\color{black}+3 \times\color{purple}(-1)\color{black}&=4-3=1 \\
-5 \times \color{blue}2\color{black}+4 \times\color{purple}(-1)\color{black}&=-10-4=-14
\end{aligned}\right.
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3
Fonction carré f(x)=x^2
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La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2 est appelée la fonction carré. La courbe représentative de cette fonction est appelée parabole.
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4
Opérations sur les fonctions f+k et kf
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- Addition d'une constante à une fonction : lorsque l'on ajoute un nombre k à une fonction f, on obtient une fonction f+k qui a le même sens de variation que f.
- Multiplication d'une fonction par une constante : lorsque l'on multiplie une fonction f par un nombre k, on obtient une fonction kf qui a le même sens de variation que f si k>0 et qui a le sens de variation contraire si k\lt 0.
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Exemple
On considère la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2.
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5
Résolution d'une équation du type f(x)=c ou d'une inéquation
du type f(x)\lt c
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- Résoudre une équation du type f(x)=c, où c est un réel donné, revient à trouver les solutions, si elles existent, qui correspondent aux abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de la fonction f et la droite d'équation y=c.
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- Résoudre une inéquation du type f(x)\lt c, où c est un réel donné, revient à trouver les solutions, si elles existent, qui correspondent à l'ensemble des abscisses pour lesquelles la courbe représentative de la fonction f est située en dessous de la droite d'équation y=c.
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Exemple
On considère la droite représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R} par \color{green}{f(x)=2x+4} et la droite d'équation y=10 ci-dessous.
La solution de l'équation \color{green}{f(x)}=\color{red}{10} est l'abscisse du point d'intersection \mathrm{A} de la droite représentative de la fonction f et de la droite d'équation y=10, soit x=3.
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Exemple
On considère la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=0,8x^2et la droite d'équation y=5 ci-dessous.
Les solutions de l'équation \color{green}f(x)\color{black}\lt \color{red}5 sont l'ensemble des abscisses pour lesquelles la courbe représentative de la fonction f est située en dessous de la droite d'équation y=5, soit l'intervalle ]-2,5 ; 2,5[.
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Les solutions de l'équation \color{green}f(x)\color{black}\lt \color{red}5 sont l'ensemble des abscisses pour lesquelles la courbe représentative de la fonction f est située en dessous de la droite d'équation y=5, soit l'intervalle ]-2,5 ; 2,5[.
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