Compléments

On considère deux événements \mathrm{A} et \mathrm{B} d'un même univers et de probabilités non nulles. On a alors :

1. {\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B}) \;\mathrm{;}}
2. {\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B})\;\mathrm{.}}

Soit \mathrm{A} et \mathrm{B} deux événements de probabilités non nulles. \mathrm{A} et \mathrm{B} sont indépendants si, et seulement si, \mathrm{P(A \cap B)=P(A) \times P(B)}.

Voir exercice

47

.

44

Soit \mathrm{A} et \mathrm{B} deux événements équiprobables et indépendants tels que \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=0,49.

Calculer \mathrm{\mathrm{P}(\mathrm{A})} et \mathrm{\mathrm{P}(\mathrm{B})}.

46

Soit \mathrm{A} et \mathrm{B} deux événements tels que \mathrm{P}(\mathrm{A})=0,2, \mathrm{P}(\mathrm{B})=0,7 \text { et } \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=0,76\;\mathrm{.}
Les événements \mathrm{A} et \mathrm{B} sont-ils indépendants ?

45

Après avoir complété l'arbre de probabilité ci-dessous, calculer \mathrm{\mathrm{P}(\mathrm{B})} et \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).

47

Démo

On considère deux événements \mathrm{A} et \mathrm{B} de probabilités non nulles.

1. Dans un premier temps, on suppose que \mathrm{A} et \mathrm{B} sont indépendants.

a. Justifier que \mathrm{P(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}}.

b. En déduire que \mathrm{P(A) \times P(B)=P(A \cap B)}.

2. Réciproquement, on suppose maintenant que \mathrm{P(A) \times P(B)=P(A \cap B)}.

a. Montrer que \mathrm{P(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}}.

b. En déduire que \mathrm{\mathrm{P}(\mathrm{A})=\mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A})}.

3. Quelle équivalence a-t-on démontrée ?

49

Soit \mathrm{A} et \mathrm{B} deux événements indépendants tels que \mathrm{P}(\mathrm{A})=0,7 \text { et } \mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=0,35\;\mathrm{.}

1. Rappeler la relation entre \mathrm{P}(\mathrm{A}) et \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}).

2. Calculer \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).

3. En déduire \mathrm{P(A \cup B)}.

48

Durant l'hiver, la probabilité pour qu'une personne ait la grippe est estimée à 5 %. Le diagnostic clinique est posé lorsque la personne présente les symptômes suivants : courbatures, fièvre subite, signes respiratoires. Durant l'hiver, la probabilité pour qu'une personne présente ces symptômes est estimée à 10 %. On sait aussi qu'une personne ayant la grippe a 80 % de risque d'avoir ces symptômes. Soit G et S les événements :

• G : « L‘individu a la grippe » ;
• S : « L'individu présente les symptômes ».

1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation.

2. Quelle est la probabilité d'avoir la grippe et de présenter les symptômes décrits ci-dessus ?

3. Quelle est la probabilité d'avoir la grippe sachant qu'on présente les symptômes décrits ci-dessus ?

50

Copie d'élève

On donne l'énoncé suivant.

Soit \mathrm{A} et \mathrm{B} deux événements tels que \mathrm{P}(\mathrm{A})=0,4, {\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0,7} et \mathrm{P}(\mathrm{B})=0,58. Calculer \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B}).

Thomas propose les calculs ci-dessous. Expliquer son raisonnement en explicitant les formules utilisées.

\begin{aligned} &\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \\ &\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0,28 \\ &\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=0,3 \\ &\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})=0,6 \\ &\mathrm{P}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B})=0,3 \div 0,6=0,5 \end{aligned}

52

En arrivant devant la porte de son domicile, Johanna sort son trousseau de clés comportant trois clés d'aspect identique, dont une seule peut ouvrir la porte. Chaque fois qu'elle essaie une clé au hasard, soit elle ouvre la porte et l'expérience aléatoire est terminée, soit elle remet la clé dans le trousseau et recommence.

1. Quelle est la probabilité qu'elle ouvre la porte au troisième essai ?

2. On considère à présent le cas de figure où Johanna ne remet pas la clé essayée dans le trousseau. Quelle est alors la probabilité qu'elle ouvre la porte au troisième essai ?

51

On considère le tableau croisé de probabilités ci-dessous, où A et B sont deux événements indépendants.



1. Construire deux arbres pondérés correspondant à cette expérience aléatoire.

2. \text { A } et \mathrm{\overline{B}} sont-ils indépendants ? Justifier.

53

À la fin du mois de janvier 2022, la probabilité qu'un Français choisi au hasard dans la population soit porteur de la COVID-19 est montée à 0,038.

Le protocole propose alors de se faire tester par un test antigénique, et, s'il est positif, de confirmer par un test PCR. Si ce test revient positif, la personne est déclarée malade.

On suppose que :

• pour le test antigénique, si la personne est porteuse du virus, son test sera positif avec une probabilité égale à 0,85. Sinon, il est positif avec une probabilité égale à 0,01 ;
• pour le test PCR, si la personne est porteuse du virus, son test sera positif avec une probabilité égale à 0,92. Sinon, il est positif avec une probabilité égale à 0,01 ;
• les résultats des deux tests sont indépendants.

1. Une personne est porteuse de la COVID-19. Quelle est la probabilité qu'elle soit déclarée malade ?
Ce résultat semble-t-il satisfaisant ?

2. Mêmes questions avec une personne saine.

3. Quelle est la probabilité d'être porteur du virus si on a été déclaré malade ?
Si on a été déclaré sain ?

4. Que penser finalement de l'efficacité de ce test ?

54

On considère l'expérience qui correspond à lancer un dé à 20 faces numérotées de 1 à 20.

Les événements « Le résultat obtenu est pair » et « Le résultat obtenu est un multiple de 3 » sont-ils indépendants ?

55

Soit \mathrm{A} et \mathrm{B} deux événements indépendants.

Montrer que \overline{\mathrm{A}} et B sont également indépendants.

Aide

Utiliser la formule des probabilités totales.