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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 11
Cours 2
Événements d'une expérience aléatoire
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AVocabulaire des événements
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Définition
- Un événement \text{A} est un ensemble d'issues : c'est une partie de l'univers \Omega.
- Une issue x_i réalise l'événement \text{A} lorsque x_i est un élément de \text{A}.
- Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu'une seule issue.
- Un événement impossible est un événement qui n'est réalisé par aucune issue.
- Un événement certain est un événement qui est réalisé par toutes les issues.
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On note \mathrm { A } \subset \Omega et on lit « \mathrm { A } est inclus dans \Omega ».
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Exemple
Lorsqu'on lance un dé à 6 faces, l'événement \mathrm { A } \: : « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues {2}, {4} et {6} ; l'événement \mathrm { B } \: : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 6 »
est un événement certain, et l'événement \mathrm { C } \: : « obtenir 7 » est un événement impossible.
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On écrit :
\text{A} = \{ 2 \: ; 4 \: ; 6 \}, \text{B} = \Omega et \text{C} = \emptyset.
\text{A} = \{ 2 \: ; 4 \: ; 6 \}, \text{B} = \Omega et \text{C} = \emptyset.
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Application et méthode
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Énoncé
1. « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » ;
2. « obtenir un nombre premier » ;
3. « obtenir un multiple de 5 » ;
4. « obtenir un diviseur de 5 ».
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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Pour chacun des événements, on détermine les issues qui le constituent.
1. L'événement « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » est réalisé avec les issues \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \} et \{ 4 \}.
2. L'événement « obtenir un nombre premier » est réalisé avec les issues \{ 2 \} et \{ 3 \}.
3. L'événement « obtenir un multiple de 5 » n'est réalisé par aucune issue.
4. L'événement « obtenir un diviseur de 5 » est réalisé avec l'issue \{ 1 \}.
1. L'événement « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » est réalisé avec les issues \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \} et \{ 4 \}.
2. L'événement « obtenir un nombre premier » est réalisé avec les issues \{ 2 \} et \{ 3 \}.
3. L'événement « obtenir un multiple de 5 » n'est réalisé par aucune issue.
4. L'événement « obtenir un diviseur de 5 » est réalisé avec l'issue \{ 1 \}.
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Solution
1. « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » est un événement certain.
2. « Obtenir un nombre premier » est un événement non élémentaire.
3. « Obtenir un multiple de 5 » est un événement impossible.
4. « Obtenir un diviseur de 5 » est un événement élémentaire.
Exercices p. 310 et p. 311
2. « Obtenir un nombre premier » est un événement non élémentaire.
3. « Obtenir un multiple de 5 » est un événement impossible.
4. « Obtenir un diviseur de 5 » est un événement élémentaire.
Pour s'entraîner
Exercices p. 310 et p. 311
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Exemple
Dans une urne il y a 21 boules : cinq boules rouges, six boules bleues, trois boules vertes et sept boules jaunes.
La probabilité d'avoir une boule rouge ou bleue est donc égale à la somme de la probabilité d'avoir une boule rouge et de la probabilité d'avoir une boule bleue, soit \dfrac{5}{21} + \dfrac{6}{21} =\dfrac{11}{21}.
La probabilité d'avoir une boule rouge ou bleue est donc égale à la somme de la probabilité d'avoir une boule rouge et de la probabilité d'avoir une boule bleue, soit \dfrac{5}{21} + \dfrac{6}{21} =\dfrac{11}{21}.
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BProbabilité d'un événement
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Définition
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.
La probabilité de l'ensemble vide est 0.
La probabilité de l'ensemble vide est 0.
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Propriété
\text{P} ( \Omega) = 1 et, pour tout événement \text{A}, 0 \leqslant \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) \leqslant 1.
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Propriété (admise)
Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement \text{A} est
{\mathrm { P } ( \mathrm { A } ) = \dfrac { \text { nombre d'issues favorables à } \mathrm { A } } { \text { nombre total d'issues } }.}
{\mathrm { P } ( \mathrm { A } ) = \dfrac { \text { nombre d'issues favorables à } \mathrm { A } } { \text { nombre total d'issues } }.}
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Exemple
Lorsqu'on lance un dé non truqué à 6 faces, l'événement \text{B} \: : « obtenir un multiple de 3 » est composé des issues équiprobables \{ 3 \} et \{ 6 \}.
Ce qui fait deux issues favorables à \text{B} sur un total de 6. Ainsi, on a \text{P} ( \text{B} ) = \dfrac { 2 } { 6 } = \dfrac { 1 } { 3 }.
Ce qui fait deux issues favorables à \text{B} sur un total de 6. Ainsi, on a \text{P} ( \text{B} ) = \dfrac { 2 } { 6 } = \dfrac { 1 } { 3 }.
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Application et méthode
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Énoncé
- \text{A} \: : « obtenir un diviseur de 12 » ;
- \text{B} \: : « obtenir un nombre premier ».
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- On commence par chercher les issues qui réalisent chacun des événements.
- Comme on est dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité de chaque événement est égale au quotient entre le nombre d'issues favorables à cet événement et le nombre d'issues totales.
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Solution
Pour réaliser l'événement \text{A}, il faut obtenir 1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4 ou 6.
Ainsi, on a \text{A} = \{ 1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4 \: ; 6 \}. \text{P} ( \text{A} ) = \dfrac { 5 } { 8 }.
Pour réaliser l'événement \text{B}, il faut obtenir 2 \: ; 3 \: ; 5 ou 7.
Ainsi, on a \text{B} = \{ 2 \: ; 3 \: ; 5 \: ; 7 \}. \text{P} ( \text{B} ) = \dfrac { 4 } { 8 }= \dfrac { 1 } { 2 }.
Ainsi, on a \text{A} = \{ 1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4 \: ; 6 \}. \text{P} ( \text{A} ) = \dfrac { 5 } { 8 }.
Pour réaliser l'événement \text{B}, il faut obtenir 2 \: ; 3 \: ; 5 ou 7.
Ainsi, on a \text{B} = \{ 2 \: ; 3 \: ; 5 \: ; 7 \}. \text{P} ( \text{B} ) = \dfrac { 4 } { 8 }= \dfrac { 1 } { 2 }.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 309
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