Sur les 170 couverts servis dans un restaurant un midi, 100 clients ont pris une entrée et un plat, 110 ont pris un plat et un dessert. Parmi ceux-ci, 80 ont pris l'entrée, le plat et le dessert. Certains aussi n'ont pris qu'un plat sans entrée ni dessert.

On choisit au hasard une personne qui a déjeuné dans ce restaurant et on considère les événements :

\text{A} \: : « le client a pris une entrée » ;
\text{B} \: : « le client a pris un dessert ».

1. Déterminer \text{P}(\text{A}) et \text{P}(\text{B}).

2. Compléter le diagramme ci-dessous.

Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.

3. À l'aide du diagramme, déterminer la probabilité qu'un client ait pris un plat seul.

4. Définir par une phrase l'événement \text{A} \cap \text{B} et déterminer sa probabilité.

5. Définir par une phrase l'événement \text{A} \cup \text{B} et déterminer sa probabilité.

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68
[Chercher.]
Dans une école de musique, les élèves peuvent apprendre le piano, la guitare ou un autre instrument. Ils ont aussi la possibilité de participer à un orchestre. La répartition dans les différents ateliers est donnée dans le tableau ci-dessous :

	Piano	Guitare	Autre instrument	Total
Orchestre	20		70
Pas orchestre		190		350
Total	150			450

1. Compléter le tableau.
2. On choisit au hasard un élève de cette école de musique.
a. Quelle est la probabilité que cet élève apprenne la guitare ?

b. Quelle est la probabilité que cet élève ne fasse pas partie de l'orchestre ?

c. Quelle est la probabilité que cet élève joue du piano dans l'orchestre ?

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On lance un dé à douze faces numérotées de 1 à 12. On considère les événements :

\text{A} : « on obtient un diviseur de 12 » ;
\text{B} : « on obtient un multiple de 3 » ;
\text{C} : « on obtient un nombre premier ».

1. Déterminer \mathrm { P } ( \mathrm { A }), \mathrm { P } ( \mathrm { B }) et \mathrm { P } ( \mathrm { C }).

2. Donner l'écriture ensembliste de l'événement \mathrm { A } \cap \mathrm { B } et en déduire sa probabilité.

3. Donner l'écriture ensembliste de l'événement \mathrm { A } \cap \mathrm { C } et en déduire sa probabilité.

4. Donner l'écriture ensembliste de l'événement \mathrm { B } \cap \mathrm { C } et en déduire sa probabilité.

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70
[Communiquer.]
On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. On considère les événements :

\text{R} : « la carte tirée est rouge » ;
\text{K} : « la carte tirée est un roi » ;
\text{T} : « la carte tirée est un trèfle ».

1. Déterminer \mathrm { P } ( \mathrm { R }), \mathrm { P } ( \mathrm { K }) et \mathrm { P } ( \mathrm { T }).

2. Définir par une phrase l'événement \mathrm { R } \cap \mathrm { K } et donner sa probabilité.

3. Définir par une phrase l'événement \mathrm { R } \cap \mathrm { T } et donner sa probabilité.

4. Définir par une phrase l'événement \mathrm { R } \cup \mathrm { T } et donner sa probabilité.

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71
[Modéliser.]

Pour se rendre sur son lieu de travail (\text{T}) depuis chez elle (\text{M}), une employée a le choix entre plusieurs chemins, tous ayant la même probabilité d'être empruntés. Le schéma ci-dessous donne les différents itinéraires possibles.
On admet que l'employée ne passe pas deux fois par le même point lors de son trajet.

Intersection et réunion - Probabilités et échantillonnage

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1. Combien y a-t-il de trajets possibles ?

2. On considère les événements :

\text{K} : « le trajet passe par le point \text{C} » ;
\text{L} : « le trajet passe par le point \text{D} ».

Déterminer la probabilité des événements \text{K}, \text{L}, \text{K} \cap \text{L} et \text{K} \cup \text{L}.

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72
[Modéliser.]
Dans un village, il y a deux boulangeries. On considère les événements :

\text{A} : « la première boulangerie est ouverte » ;
\text{B} : « la deuxième boulangerie est ouverte ».

On sait que \text{P}(\text{A}) = 0\text{,}6 et \text{P}(\text{B}) = 0\text{,}8 . De plus, il y a toujours au moins une des deux boulangeries ouverte. Exprimer chacun des événements suivants en fonction des événements \text{A} et \text{B} et déterminer leur probabilité.
1. \text{D} : « au moins une des deux boulangeries est ouverte » ;

2. \text{E} : « aucune boulangerie n'est ouverte » ;

3. \text{F} : « les deux boulangeries sont ouvertes ».

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73
[Chercher.]
On choisit une personne au hasard à la sortie d'une séance de cinéma. On sait que, pour cette séance, 47 % des personnes ont bénéficié d'un tarif réduit, 32 % disposent d'un abonnement et les autres ont payé le tarif normal. Un client ne peut pas bénéficier d'un tarif réduit s'il possède déjà un abonnement.
Quelle est la probabilité que la personne choisie au hasard ait payé le tarif normal ?

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75
[Communiquer.]
On choisit au hasard un nombre entier entre 1 et 100. On considère les événements :

\text{A} : « le nombre choisi est le carré d'un entier » ;
\text{B} : « le nombre choisi est le cube d'un entier ».

1. Les événements \text{A} et \text{B} sont-ils incompatibles ?

2. Déterminer \mathrm { P } ( \mathrm { A } ), \mathrm { P } ( \mathrm { B } ) et \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ).

3. En déduire \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ).

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74
[Communiquer.]
Dans un sac opaque, on met deux billets de 5 €, un billet de 10 € et deux billets de 20 €. Tous les billets sont indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux billets dans le sac.
1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.

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On considère les événements :

\text{A} : « on tire deux billets identiques » ;
\text{B} : « on tire au moins un billet de 20 € ».

2. Déterminer \text{P}(\text{A}) et \text{P}(\text{B}).

3. Définir par une phrase l'événement \overline { \mathrm { B } } et donner sa probabilité.

4. Définir par une phrase l'événement \mathrm { A } \cap \overline { \mathrm { B } } et donner sa probabilité.

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76
[Modéliser.]
On lance trois fois de suite une pièce équilibrée. On note \text{A} l'événement : « on obtient trois fois face ».

Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois « pile ».

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77
[Modéliser.]
Pour aller à un entretien d'embauche, Robin ne sait pas quelle tenue choisir. Il décide alors de prendre au hasard une chemise, un pantalon et une veste. Il dispose de trois chemises (une noire, une grise et une bleue), de deux vestes (une noire et une bleue) et de deux pantalons (un noir et l'autre bleu).

1. Déterminer le nombre de façons différentes dont Robin peut s'habiller.

2. Quelle est la probabilité que Robin ne porte pas de noir ?

3. En déduire la probabilité qu'il porte au moins un habit noir.

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78
[Modéliser.]
En France, il y a 16 % de gauchers, 30 % de personnes qui ont les yeux bleus et 3 % de gauchers aux yeux bleus.

Quelle est la probabilité qu'un individu pris au hasard ne soit pas gaucher et n'ait pas les yeux bleus ?

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79
[Modéliser.]
Une usine fabrique des objets destinés à être commercialisés. Sur 100 objets qui sortent de l'usine, en moyenne, 15 ont le défaut \text{A}, 7 ont le défaut \text{B} et 6 ont les deux défauts.

Calculer la probabilité qu'un objet n'ait aucun défaut.

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80
[Chercher.]
Une coccinelle se déplace en partant du point \text{A} sur la figure ci-dessous.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

À chaque intersection, la coccinelle choisit au hasard une direction (elle peut revenir sur ses pas). On s'intéresse aux trajets composés de trois déplacements en partant de \text{A}.

1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.

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2. On considère les événements suivants :

\text{M} : « la coccinelle visite exactement trois points différents » ;
\text{N} : « la coccinelle passe par le point \text{B} » ;
\text{O} : « la coccinelle passe deux fois par le même point ».

a. Déterminer \text{P}(\text{M}), \text{P}(\text{N}) et \text{P}(\text{O}).
Aide : Pour calculer la probabilité d'un événement obtenu en parcourant complètement un chemin d'un arbre, on multiplie les probabilités de chaque événement rencontré. Par exemple, la probabilité du chemin \text{ABAB} est \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{16}. Cette méthode sera revue en détail en première.

b. Déterminer et interpréter \mathrm { P } ( \mathrm { M } \cap \mathrm { N } ) et \mathrm { P } ( \mathrm { M } \cap \mathrm { O } ).

c. En déduire \mathrm { P } ( \mathrm { M } \cup \mathrm { N } ) et \mathrm { P } ( \mathrm { M } \cup \mathrm { O } ).

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