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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 11
Cours 3
Intersection et réunion
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AIntersection et réunion d'événements
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Définition
Soient \text{A} et \text{B} deux événements d'un univers \Omega.
- L'intersection de \text{A} et \text{B} est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois \text{A} et \text{B} (les deux à la fois).
- La réunion de \text{A} et \text{B} est l'ensemble des issues qui réalisent \text{A} ou \text{B} (au moins l'un des deux).
- Les événements \text{A} et \text{B} sont incompatibles lorsque \text{A} \cap \text{B} = \emptyset.
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L'intersection de \text{A} et \text{B} se note \text{A} \cap \text{B}.
La réunion de \text{A} et \text{B} se note \text{A} \cup \text{B}.
La réunion de \text{A} et \text{B} se note \text{A} \cup \text{B}.
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EXCLU. PREMIUM 2023
Genially
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Propriété
Si \text{A} et \text{B} sont deux événements incompatibles alors \text{P} (\text{A} \cup \text{B})=\text{P} (\text{A})+\text{P} (\text{B}).
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Par conséquent, si \text{A} et \text{B} sont incompatibles alors
\text{P} (\text{A} \cap \text{B})=0.
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Démonstration
On note \text{N} le nombre total d'issues. n est le nombre
d'issues réalisant \text{A} et p le nombre d'issues réalisant \text{B}.
Ainsi, en situation d'équiprobabilité, \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) = \dfrac { n } { \mathrm { N } } et \mathrm { P } ( \mathrm { B } ) = \dfrac { p } { \mathrm { N } }.
On pose alors \mathrm { A } = \left\{ x _ { 1 } \: ; x _ { 2 } \: ; \ldots \: ; x _ { n } \right\} et \mathrm { B } = \left\{ y _ { 1 } \: ; y _ { 2 } \: ; \ldots \: ; y _ { p } \right\}.
Puisque \mathrm { A } \cap \mathrm { B } = \emptyset alors \mathrm { \mathrm { A } \cup \mathrm { B } } = \left\{ x _ { 1 } \: ; x _ { 2 } \: ; \ldots \: ; x _ { n } \: ; y _ { 1 } \: ; y _ { 2 } \: ; \ldots \: ; y _ { p } \right\}.
Ainsi, \mathrm { \mathrm { A } \cup \mathrm { B } } contient n + p issues, d'où \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ) = \dfrac { n + p } { \mathrm { N } } = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ).
Ainsi, en situation d'équiprobabilité, \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) = \dfrac { n } { \mathrm { N } } et \mathrm { P } ( \mathrm { B } ) = \dfrac { p } { \mathrm { N } }.
On pose alors \mathrm { A } = \left\{ x _ { 1 } \: ; x _ { 2 } \: ; \ldots \: ; x _ { n } \right\} et \mathrm { B } = \left\{ y _ { 1 } \: ; y _ { 2 } \: ; \ldots \: ; y _ { p } \right\}.
Puisque \mathrm { A } \cap \mathrm { B } = \emptyset alors \mathrm { \mathrm { A } \cup \mathrm { B } } = \left\{ x _ { 1 } \: ; x _ { 2 } \: ; \ldots \: ; x _ { n } \: ; y _ { 1 } \: ; y _ { 2 } \: ; \ldots \: ; y _ { p } \right\}.
Ainsi, \mathrm { \mathrm { A } \cup \mathrm { B } } contient n + p issues, d'où \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ) = \dfrac { n + p } { \mathrm { N } } = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ).
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Propriété
Soient \mathrm { A } et \mathrm { B } deux événements. On a \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ).
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Exemple
Dans un jeu de cartes, si \text{A} est « la carte tirée est un pique » et \text{B} est « la carte tirée est un as » alors \text{A} \cap \text{B} est « la carte tirée est l'as de pique » et \text{A} \cup \text{B} est « la carte tirée est un pique ou un as » (on peut donc tirer n'importe quel pique ou n'importe
quel as y compris l'as de pique).
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Démonstration
Notons \text{C} l'événement composé des issues qui réalisent
\text{A} mais pas \text{B}.
Comme les événements \text{C} et \text{B} sont incompatibles, on a \mathrm { P } ( \mathrm { C } \cup \mathrm { B } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ).
Or, \mathrm { C } \cup \mathrm { B } = \mathrm { A } \cup \mathrm { B } d'où \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ).
De plus, les événements \text{C} et \mathrm { A } \cap \mathrm { B } sont incompatibles, donc on a \mathrm { P } ( \mathrm { C } \cup ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) ) = \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ).
Or, \mathrm { C } \cup ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) = \mathrm { A } d'où \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) et \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) - \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ).
Ainsi, en combinant les deux résultats, on obtient \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) - \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ),
c'est-à-dire \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ).
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Comme les événements \text{C} et \text{B} sont incompatibles, on a \mathrm { P } ( \mathrm { C } \cup \mathrm { B } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ).
Or, \mathrm { C } \cup \mathrm { B } = \mathrm { A } \cup \mathrm { B } d'où \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ).
De plus, les événements \text{C} et \mathrm { A } \cap \mathrm { B } sont incompatibles, donc on a \mathrm { P } ( \mathrm { C } \cup ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) ) = \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ).
Or, \mathrm { C } \cup ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) = \mathrm { A } d'où \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) et \mathrm { P } ( \mathrm { C } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) - \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ).
Ainsi, en combinant les deux résultats, on obtient \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) - \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ),
c'est-à-dire \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { B } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { B } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { B } ).
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Application et méthode
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Énoncé
On a demandé à 180 adolescents quel était leur genre de film préféré et on a consigné les résultats dans le tableau ci-dessous.
On choisit au hasard un adolescent qui a participé à cette étude. On considère les événements \text{A} : « l'adolescent choisi préfère les films d'action » et \text{F} : « l'adolescent choisi est une fille ». Calculer \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { F } ) et \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { F } ).
| Filles | Garçons | Total | |
| Comédie | 75 | 25 | 100 |
| Action | 45 | 35 | 80 |
| Total | 120 | 60 | 180 |
On choisit au hasard un adolescent qui a participé à cette étude. On considère les événements \text{A} : « l'adolescent choisi préfère les films d'action » et \text{F} : « l'adolescent choisi est une fille ». Calculer \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { F } ) et \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { F } ).
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- Chaque case du tableau nous donne la probabilité de l'intersection de deux événements.
- Pour trouver \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { F } ), on utilise la formule
\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { F } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { F } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { F } ).
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Solution
- Dans le tableau, on peut lire qu'il y a 45 filles qui préfèrent les
films d'action. Sachant que, sur les 180 adolescents qui ont été
interrogés, 45 sont des filles qui préfèrent les films d'action, on a
\mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { F } ) = \dfrac { 45 } { 180 } = \dfrac { 1 } { 4 }. - On trouve dans le tableau que \mathrm { P } ( \mathrm { F } ) = \dfrac { 120 } { 180 } = \dfrac { 2 } { 3 } et que \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) = \dfrac { 80 } { 180 } = \dfrac { 4 } { 9 }.
D'où \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \mathrm { F } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \mathrm { F } ) - \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cap \mathrm { F } ) = \dfrac { 2 } { 3 } + \dfrac { 4 } { 9 } - \dfrac { 1 } { 4 } = \dfrac { 31 } { 36 }.
Pour s'entraîner
exercices ; et p. 309
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BÉvénement complémentaire
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Définition
L'événement complémentaire de \text{A} est l'événement, noté \overline \text{A}, formé de toutes les issues qui ne réalisent pas \text{A}.
Autrement dit, \text{A} \cap \overline { \text{A} } = \emptyset et \text{A} \cup \overline { \text{A} } = \Omega.
Autrement dit, \text{A} \cap \overline { \text{A} } = \emptyset et \text{A} \cup \overline { \text{A} } = \Omega.
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Propriété
Pour tout événement \text{A}, on a \mathrm { P } ( \overline { \mathrm { A } } ) = 1 - \mathrm { P } ( \mathrm { A } ).
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Démonstration
Par définition, \text{A} \cup \overline { \text{A} } = \Omega et \text { A}\cap \overline { \mathrm { A } } = \emptyset,
donc : \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \overline { \mathrm { A } } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \overline { \mathrm { A } } ) = \mathrm { P } ( \Omega ) = 1 d'où le résultat.
donc : \mathrm { P } ( \mathrm { A } ) + \mathrm { P } ( \overline { \mathrm { A } } ) = \mathrm { P } ( \mathrm { A } \cup \overline { \mathrm { A } } ) = \mathrm { P } ( \Omega ) = 1 d'où le résultat.
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\text{A} et \overline \text{A} sont incompatibles.
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Exemple
À un carrefour, on a constaté que la probabilité qu'un feu soit vert est de 0\text{,}512. Ainsi,
la probabilité que le feu ne soit pas vert est 1 - 0\text{,}512 = 0\text{,}488 .
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Application et méthode
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Énoncé
On tire un jeton au hasard dans une urne qui contient un jeton blanc et un jeton noir. Après le tirage, on remet le jeton tiré dans l'urne et on recommence cette expérience encore trois fois.
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois un jeton noir ?
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- On commence par définir l'événement complémentaire de « obtenir au moins un jeton noir ».
- On construit l'arbre de dénombrement associé à cette situation.
- On utilise la propriété qui permet de calculer la probabilité d'un événement contraire.
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Solution
L'événement complémentaire de « obtenir au moins un jeton noir » est « n'obtenir
aucun jeton noir ».
Grâce à un arbre de dénombrement, on détermine que la probabilité de n'obtenir aucun jeton noir est de \dfrac { 1 } { 16 }.
Donc la probabilité d'obtenir au moins un jeton noir est de 1 - \dfrac { 1 } { 16 }=\dfrac { 15 } { 16 }.
Grâce à un arbre de dénombrement, on détermine que la probabilité de n'obtenir aucun jeton noir est de \dfrac { 1 } { 16 }.
Donc la probabilité d'obtenir au moins un jeton noir est de 1 - \dfrac { 1 } { 16 }=\dfrac { 15 } { 16 }.
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Pour s'entraîner
exercices p. 310 et p. 316
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