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Ch. 12
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Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 12
TP / TICE 4
Autour de la moyenne
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Énoncé
Dans une urne, il y a dix boules : deux boules bleues et huit boules blanches.
Lorsqu'un joueur tire une boule bleue, il gagne 2 euros. S'il tire une boule blanche, il gagne 1 euro.
On note \text{X} le gain du joueur et \text{G} le gain moyen du joueur s'il joue dix parties.
On note également \mu l'espérance de \text{X} et \sigma son écart-type. On peut alors noter \sigma^2 la variance de \text{X.}
On note \text{X} le gain du joueur et \text{G} le gain moyen du joueur s'il joue dix parties.
On note également \mu l'espérance de \text{X} et \sigma son écart-type. On peut alors noter \sigma^2 la variance de \text{X.}
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Objectif
Calculer la fréquence avec laquelle, si l'on répète cette expérience 100 fois, le gain moyen du joueur est dans l'intervalle \left[ \mu - \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \,; \mu + \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \right], à l'aide d'une des deux méthodes.
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Méthode 1Tableur
1. Recopier la feuille de calcul ci-dessous dans un tableur.
- Compléter les cellules B2 à K2 pour simuler une partie de dix lancers.
- Compléter la cellule L2 pour calculer le gain moyen du joueur sur cette partie de dix lancers.
- Copier cette ligne vers le bas pour simuler 100 fois une telle partie.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2. Calculer l'espérance \mu et la variance \sigma ^ { 2 } de \text{X.}
3. À l'aide du tableur, calculer la fréquence avec laquelle le gain moyen \text{G} du joueur appartient à l'intervalle \left[ \mu - \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \: ; \mu + \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \right].
3. À l'aide du tableur, calculer la fréquence avec laquelle le gain moyen \text{G} du joueur appartient à l'intervalle \left[ \mu - \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \: ; \mu + \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \right].
Aide
On pourra créer une colonne qui calcule
| \text{G} - \mu | et utiliser la fonction =NB.SI.
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Méthode 2Python
Le programme suivant simule 100 parties du jeu.
1. Compléter les pointillés dans ce programme.
from random import*
def partie():
gain = 0
for i in range(10):
if random() < 0.2:
...
else:
...
return(gain/10)
proche = 0
for i in range(100):
if ...:
proche = proche + 1
print(proche/100)
2. Calculer l'espérance \mu et la variance \sigma ^ { 2 } de \text{X.}
3. À l'aide du programme complété, calculer la fréquence avec laquelle le gain du joueur appartient à l'intervalle \left[ \mu - \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \: ; \mu + \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \right].
4. Avec Python, il est possible de simuler des échantillons de taille beaucoup plus grande qu'avec le tableur.
Faire des tests en simulant 1\:000 parties puis 10\:000 parties.
3. À l'aide du programme complété, calculer la fréquence avec laquelle le gain du joueur appartient à l'intervalle \left[ \mu - \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \: ; \mu + \dfrac { 2 \sigma } { \sqrt { 10 } } \right].
4. Avec Python, il est possible de simuler des échantillons de taille beaucoup plus grande qu'avec le tableur.
Faire des tests en simulant 1\:000 parties puis 10\:000 parties.
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